Pourquoi ne peut-on pas comparer deux nombres complexes ?

[inviteb90b824a]

Bonjour,

Tout est dans le titre ! Je me pose cette question car pour moi, à vue de nez, i < 2i par exemple.

Merci d'avance !
-----

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Ce n'est pas aussi évident. Les nombres complexes par définition sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique. Autrement dit ils ne sont là que pour résoudre des équations, ou pour faciliter des caculs, mais ne représentent rien de concret.

Prenons un exemple. Peux tu comparer ces deux nombres: 4+7i et 12-3i?

Concernant i et 2i, il n'y a rien d'évident à ce que l'un soit plus petit que l'autre. i est défini comme étant la racine carrée (imaginaire) de (-1), ce qui n'a pas de sens physique. Comment dans ces conditions être capable de dire que l'un est plus petit/plus grand que l'autre?

De plus pour pouvoir dire que i<2i, il faudrait admettre que i soit positif. Or i étant défini comme quelque chose de physiquement impossible, la notion de positif/négatif est difficile à envisager.

[danyvio]

Tout au plus pourrait-on comparer les modules de deux nombres complexes, mais pas les complexes eux-mêmes.

[Plume d'Oeuf]

Re-Bonjour.

J'ai oublié de préciser qu'un nombre complexe peut être vu comme un couple de nombres réels.

Or comment dire qu'un couple est supérieur à un autre? On pourrait chercher la norme algébrique de ce couple, ce qui donnerait éventuellement un moyen de comparaison, mais ne serait pas suffisant:

Les couples (-1;-1) et (1,1) ont la même norme, égale à racine de 2, mais ne sont pas les mêmes couples pour autant.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Merci vous deux, c'est bien plus clair maintenant !

Enfin, reste à comprendre l'utilité de travailler sur des nombres n'ayant aucun sens physique.. Y a-t-il des applications aux nombres complexes, enfin je veux dire, pourquoi ont-ils été inventés à l'origine ?

[ansset]

parcequ'ils sont très pratiques dans tout ce qui est ondulatoire.

on peut les decrire comme deux réels, mais leurs utilité est surtout dans les cycles périodiques.

ainsi au lieu d'écrire
z = a + bi on peut ecrire
z = !z! ( cos(argz) + sin(argz)*i)

ou même

z=!z!e^(i(theta)) theta=arg(z) bien sur

les calculs sont beaucoup plus simples
par exemple
en multipliant 2 complexes ,
il suffit de multiplier les modules et d'additionner les angles !!

elle est pas belle la vie ?

[erik]

Les nombres complexes par définition sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique.

Le problème n'est pas là, on peut montrer que si on définit z1>z2 alors on a pas forcément z1+a>z2+a, ce qui est un poil embétant pour une relation d'ordre.

Le fait que les complexes "sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique." n'a rien à voir, les maths ne travaillent pas avec des objets ayant une réalité physique.

[Plume d'Oeuf]

A erik:
En effet! Ne connaissant pas la preuve théorique, j'essayais juste de faire passer le concept.



A Iris19:
Comme l'a dit erik, les mathématiciens ne s'embêtent pas à considérer la réalité physique des choses pour travailler.

A l'origine les nombres complexes ont été introduits sous le nom de nombres impossibles pour trouver toutes les racines des polynômes d'ordre 3, de la forme x³+ax²+bx+c, où a, b et c sont des réels.

On peut montrer assez facilement que la recherche des racines d'un tel polynôme passe par la recherche des racines d'un polynôme d'ordre 2 (formules de Cardan).



Considérons le trinôme: ax²+bx+c avec a,b et c réels, a non nul. Cherchons ses racines.

On pose:




En passant sous forme canonique, on obtient:


Ce qui équivaut à:



Soit, en posant :

(E):


Si est positif ou nul, il est facile de montrer que des solutions réelles existent.


Si maintenant est négatif, on se retrouve dans le cas où un carré est négatif: IMPOSSIBLE me direz vous!

Ce, jusqu'à ce qu'un certain monsieur Bombelli dise (en italien): et si on supposait qu'il existait un nombre, imaginaire, dont le carré serait -1!!! Notons ce nombre .

Alors (E) admet deux nouvelles solutions imaginaires quand <0:





De là sont nés les "nombres impossibles" comme les a appelés Bombelli. Ce n'est que plus tard qu'Euler les a rebaptisés nombres complexes et a changé la notation en i, parce que l'application des lois s'appliquant à la racine posaient problème.

Aujourd'hui, les nombres complexes sont très démocratisés, et utilisés en mécanique ondulatoire, en traitement du signal, pour simplifier des équations différentielles,... L'aspect géométrique des nombres complexes est aussi un outil très puissant.


Sources (entre autres):
http://homeomath.imingo.net/cardan.htm
http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/cplx03.pdf
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe
http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/2/...impossible.pdf
http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pd..._cplx_2007.pdf


NB: j'ai fait ce petit travail de recherche quelques jours auparavant

Bonne continuation!

[Médiat]

Bonjour,

Tout est dans le titre ! Je me pose cette question car pour moi, à vue de nez, i < 2i par exemple.

On peut parfaitement comparer deux nombres complexes, c'est à dire définir une relation d'ordre sur cet ensemble.
Il y a même un tas d'exemples : ordre lexicographique sur (partie réelle, partie imaginaire) ou sur (Module, Argument) (avec argument entre 0 inclu et 2 pi exclu).

L'inconvénient de ces relations d'ordres c'est qu'elles ne sont pas compatibles avec la structure de corps (pour l'addition et la multplication par un nombre plus grand que 0).

Il y a un autre exemple intéressant, car compatible avec la structure de corps :
a + ib <= x + iy si et seulement si b = y et a <= x.

Mais l'inconvénient de cette relation d'ordre c'est qu'elle n'est pas totale.

Le corps des nombres complexes ne peut pas être muni d'une relation d'ordre totale compatible avec sa structure de corps.

[inviteb90b824a]

Bonjour,

Désolée de cette réponse tardive - plus de connexion Internet - mais je tenais à vous remercier pour toutes vos réponses. J'ai compris.

Bonne journée !

[invitedb2255b0]

Bon j'ai delete tout mon blabla, c'est juste ce que viens de dire mon prédécesseur.

[invitedb2255b0]

Le fait qu'un ordre ne soit pas compatible avec la structure de corps, cela signifie que l'on a pas les propriété classique style a<b => a+c<b+c où ce genre de chose.

Un ordre est total si 2 éléments sont toujours comparables.

Le problème de C viens evidemment du fait que les ordre précité sont totalement arbitraire. Pourquoi Re en premier et pas Im etc...

Sur R c'est facile à se représenté. Plus c'est proche de 0, plus c'est grand coté négatif, et coté positif plus c'est loin, plus c'est grand. La aussi d'ailleurs ya quelque chose d'arbitraire, c'est le moins le plus petit. Difficile de le justifié puisque si on retourne la droite, tous change. Mais ca reste potable encore. Comme l'histoire de la racine carré. On aurrais pu la définir uniquement pour les nombre négatif, c'est totalement arbitraire d'avoir choisit les positifs.

Dans C, on est dans le plan, donc ca se complique, ya trop d'ambiguité.

[Plume d'Oeuf]

Comme l'histoire de la racine carré. On aurrais pu la définir uniquement pour les nombre négatif, c'est totalement arbitraire d'avoir choisit les positifs.

Bonjour,

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cela. Tout nombre multiplié par lui même donne un nombre positif; il est donc tout à fait légitime d'avoir défini dans un premier temps la fonction racine carrée sur R⁺.

Ce qu'on pouvait discuter par contre c'éttait la règle des signes, avec + par - donne - , ou encore - par - donne + ... quoiqu'elle soit aujourd'hui établie comme théorème grâce à l'usage des anneaux.

Maintenant définir la racine carrée sur les négatifs était plutôt osé, puisqu'il s'agissait de mettre en œuvre des nombres n'ayant plus d'autre existence que mathématique, dans le seul but de trouver des solutions "impossibles" aux équations non solvables sur R.

C'est le côté "arbitraire" qui me gênait

[invitedb2255b0]

Oui tu as raison c'étais parfaitement légitime.
Mais je sais que, dans ma tendre enfance j'avais buter sur la regle du "une racine carré est positive" étant au collège.

Parceque pour moi, si la racine carré donnais le nombre qui élevé au carré donne 2, alors -2 est parfaitement racine carré de 4 =).

Mais bon, j'étais pas très normal dans mon enfance ...

[Plume d'Oeuf]

Je ne vois pas où est le problème: -2 est bien une racine de 4!

Par contre il était dingue avant Bombelli de chercher la racine carrée d'un nombre négatif. Ne pas confondre ensemble de définition et ensemble image...