Théorème de Pythagore.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Soit un carré ABCD de côté p. Soient les points I,J,K et L situés respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] et tels que AI = BJ = CK = DL = a (a<p).

Ma question est: existe-t-il une méthode géométrique connue pour justifier que IJKL est un carré, SANS UTILISER LE THEOREME DE PYTHAGORE?

Le but de l'opération étant justement cette élégante démonstration géométrique dudit théorème basée sur la figure décrite au dessus.

Je précise que je connais la démonstration du théorème, je cherche juste à justifier que IJKL est un carré.

Merci d'avance!
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[invitee4ef379f]

Je joins la figure.

[invite51d17075]

je proposerai par les angles:

[danyvio]

je proposerai par les angles:

Par les cas d'égalités des triangles, montrer que les côtés de la figure inscrite sont égaux

Dans la foulée on démontre que les angles de cette figure sont eux aussi égaux et = à 90 °

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Pour montrer que les 4 triangles sont isométriques, il suffit d'argumenter qu'ils sont tous par construction des triangles rectangles dont les deux côtés de l'angle droit ont toujours respectivement des longueurs a et (p-a).

Nécessairement l'hypothénuse des 4 triangles est toujours de même longueur.


Concernant les angles (en degrés), on a par construction:





Dans les 4 triangles rectangles isométriques, on a respectivement les égalités suivantes (justifiées par l'isométrie des triangles):





Ansi que celle ci (justifiée par le fait que le triangles soient rectangles):




On a donc pour chaque angle de la figure inscrite:



Il vient que la figure inscrite est un carré, et que j'ai honte d'avoir posé la question

Merci en tout cas!

[invitee4ef379f]

Correction de la figure, qui avait deux points K au lieu d'un point K et d'un point L.

[Gawel]

Bonjour,


Par les angles, ça peut marcher...
Par de la trigo aussi (mais on se rapproche de Pythagore)

Sinon, tu peux passer par l'étude des diagonales, ya peut être moyen de creuser vers là...

Il est facile de voir que les diagonales se coupent en leur milieu...
Ca doit pas être trop dur non plus de prouver qu'elles ont la même longueur
Reste plus qu'à prouver qu'elles sont perpendiculaire

Bon courage

[invitee4ef379f]

Merci pour le coup de pouce!

Je trouve la démonstration du théorème de Pythagore basée sur des calculs d'aires dans la figure décrite au dessus très élégante, mais pour cela il me fallait démontrer que ce foutu carré inscrit était bien un carré!

Ce qui est fait maintenant, alors je suis content