Second exercice où je rencontre des difficultés

[invite7b771e43]

Bonjours à toutes et à tous.
Je rencontre un second probléme dans cet exercice.
En voici l'énoncé:
Soit OABC un tétraèdre tel que:
OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O.
OA=OB=OC=1
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du traiangle ABC, H le pied de la hauteur issue d O du triangle OIC et D le point de l'espace défini par HO=OD(en vecteur)

Quelle est la nature du triangle?
Démontrer que les droites (OH) et(AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC.
Voila. SI je pouvais avoi de l'aide pour ces deux question...
Pour le reste je me débrouillerais.
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[invite7b771e43]

pourais je avoir une aide svp. sa me serais bien utile. merci

[invite0b269ea8]

Tu es en quelle classe ? (1re S -> produit scalaire)
Quelle est la nature de quel triangle ?

Sinon, des pistes :
- vu les définitions ABC a l'air d'être équilatéral
- HO=OD en vecteur signifie que O est le milieu de [HD]
- avec les trois triangles rectangles, y'a moyen de construire un repère orthonormé pour bricoler

[invite7b771e43]

bonjours. Je suis en terminal S. et nous parlons du triangle ABC.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b771e43]

pouvaz vous m'aider svp

[invitea3eb043e]

Sans aller chercher des axes de coordonnées, on peut voir assez facilement que AB est perpendiculaire à CI et aussi à OI (question de triangles isocèles).
Donc AB est perpendiculaire au plan OIC, donc il est perpendiculaire aussi à OH (AB est perpendiculaire à toutes les droites du plan OIC)

[invite7b771e43]

ok je comprend le raisonnement. Cependant je ne sais pas comment aborder la seconde question:
Démontrer que les droites (OH) et(AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC.
Voila. SI je pouvais avoi de l'aide pour ces deux question...
Pour le reste je me débrouillerais.
merci de votre aide.

[invite51d17075]

bonjour,
tu peux ecrire ( en vecteurs )
OH= OI+IH
donc
OH.AB=OI.AB + IH.AB
I étant le centre de AB, c'est aussi la projection orto de 0 sur AB car AOB est isocèle
donc OI.AB=0
puis IH est sur la droite IC
comme I est le projeté ortogonal de C sur AB, on a aussi
IH.AB = 0

donc OH.AB=0

[invite7b771e43]

A oui ok. je n'avais pas pencer de le faire de cette maniére. C'est effectivement plus simple en utilisant les vecteurs.
J'étais partis avec les barycentre.
Cependant, si on avait voulu démontrer que H est l'hortencentre du triangle ABC, de quelle maiére on aurait pu s'y prendre?
Car c'est une question qui souvent répété.

[invite51d17075]

un peu de la même manière
il suffit de montrer que BH.AC =0
car si c'est la cas H est sur l'intection de deux hauteurs, il l'est sur les 3.

BH.AC=(BO+OH).AC
or, BO.AC = 0 car AC=AO+OC et que les 3 droites sont orthogonales
reste
OH.AC = (OH)(AI+IC)
OH.AI=0 ( puisque OH.AB=0, question précedente)
OH.IC=0 ( c'est la définition de H sur IC)

donc BH est ortogonal à AC et H l'orthocentre.

[invitea3eb043e]

Inutile d'écrire des équations : il suffit de dire que OH est perpendiculaire au plan ABC parce qu'il est perpendiculaire à AB et aussi à IC.
Dès lors, H est la projection de O sur le plan ABC et si H est sur la hauteur CI, il est aussi sur les autres hauteurs qui jouent le même rôle.

[invite51d17075]

Inutile d'écrire des équations : il suffit de dire que OH est perpendiculaire au plan ABC parce qu'il est perpendiculaire à AB et aussi à IC.
Dès lors, H est la projection de O sur le plan ABC et si H est sur la hauteur CI, il est aussi sur les autres hauteurs qui jouent le même rôle.

pas du tout.
si ABC est un triangle quelconque.
H sur la hauteur de C sur AB
O un point de l'espace tel que OH est perp au triangle ABC.
tout les H sur la droite verifient ça, et pas uniquement l'orthocentre.

c'est le "qui jouent le même role" qui est un peu rapide.

[invite51d17075]

le même role par symétrie OABC aurait été plus explicite.

mais je reconnais que c'est plus rapide !

[invite7b771e43]

et comment je pourais mis prendre si je veut calculer OH.
Faut t'il que j'utilise la géométrie ou bien les vecteurs?

[invite51d17075]

pourquoi veux tu calculer OH,
je reprend la demonstration de jeanPaul en expliquant un peu plus, car sa conclusion me semblait très rapide ( peu didactique je veux dire ).

Inutile d'écrire des équations : il suffit de dire que OH est perpendiculaire au plan ABC parce qu'il est perpendiculaire à AB et aussi à IC.
Dès lors, H est la projection de O sur le plan ABC et si H est sur la hauteur CI, il est aussi sur les autres hauteurs qui jouent le même rôle.

OH est orthogonal à CI ( definition de H)
OH est orthogonal à BA ( question précedente )
donc OH est orthogonal au plan contenant le triangle ABC.
donc H est LE (unique) projeté de O sur le plan contenant ABC

par symetrie , prenons une autre hauteur du triangle
hauteur de B sur AC
I' projeté de B sur AC
si H' est le projeté de O sur BI, on trouverai de la même manière que H' est le projeté de O sur le triangle.
or, il n'existe qu'un seul projeté, donc H=H'

au final, H est forcement l'orthocentre.
a toi de preférer cette demo deductive ( plus élégante) ou le calcul que j'ai presenté plus haut.

[invite7b771e43]

j'ai compris sa démontration. Mais c'est simplement que je me demander par la suite comment on aurais pu le calculer. Pour que je puisse m'entrainer.

[invite7b771e43]

pourais t'on m'expliquer ou me donner des pistes svp:

[invite51d17075]

il y a des formules toutes faites.

sinon, pour jouer un peu en enchaînant les pythagores.
ABC est equilateral de coté sqrt(2)
la hauteur de ABC : CI = sqrt(3/2)
CH = 2/3 de CI ( triangle equilatéral) = (2/3)*sqrt(3/2)
CH = sqrt (2/3)
et aussi
OC²=1=OH²+CH² donc
OH²=1-2/3=1/3
OH=sqrt(1/3)

[invite7b771e43]

que veut dire sqrt?
Et il existe quoi comme formules?

[invite51d17075]

sqrt pour racine carrée.
des formules , y'en a à la pelle !

[invite7b771e43]

Mais commen vous touvez les cotés du trianle font racine de 2
et que CI = racine de 3/2
et il y à quoi comme formule par exemple. car elle ne viennet pas en tête.

[invite51d17075]

Mais commen vous touvez les cotés du trianle font racine de 2
et que CI = racine de 3/2
et il y à quoi comme formule par exemple. car elle ne viennet pas en tête.

par pythagore à chaque fois
par exemple OA=OC=1 et AOC rectangle en O
donc AC²=1+1=2
AC=rac(2)