Arithmétique PGCD

[nicolas105]

Bonjour !
Je suis en TS spécialité maths et voila un exercice que je ne trouve pas. Voici l'énoncé :

a,b,q,p désignent des entiers relatifs.
a=9p+4q et b=2p+q
1)a. Montrer que pgcd (a;b) = pgcd (p;q)
b. montrer que pgcd (9p+4;2p+1)=1 et en déduire le ppcm de ces deux entiers
2) déterminer le pgcd de 9p+4 et 2p-1 en fonction de p.

question 1a et b aucun souci. Mais la question 2 je sèche complètement. J'ai essayé plusieurs choses : division euclidienne successives selon l'algorithme d'Euclide, utiliser les questions précédentes mais sans parvenir à un résultat. Voilà si quelqu'un a une idée...

Merci beaucoup !!
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[silk78]

Peut-être en utilisant : pgcd(x,y)=pgcd(x +n*y, y) avec n entier relatif (formule à la base de l'algo d'Euclide), je vais voir si ça marche

[hhh86]

Soit d un diviseur de 9p+4 et 2p-1
d|(2(9p+4)-9(2p-1))
d|17
Donc d=-17 ou d=-1 ou d=1 ou d=17
Donc PGCD(9p+4;2p-1) appartient à {1;17}

On suppose PGCD(9p+4;2p-1)=17
Donc
17|(2p-1)
==>2p=1[17]
==>2*9p=9[17]
==>18p=9[17]
==>p=9[17]

17|9p+4
==>9p=-4[17]
==>18p=-8[17]
==>p=-8[17]
==>p=9[17]

Réciproquement, on suppose p=9[17]
Alors 2p-1=17=0[17] et 9p+4=85=0[17]

Par conséquent PGCD(9p+4;2p-1)=17 <=> p=9[17]

Donc PGCD(9p+4;2p-1)=1 <=> p n'est pas congru 9[17]

[nicolas105]

Merci beaucoup pour ton aide !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Bon bah je trouve pareil que hhh86 en utilisant pgcd(x,y)=pgcd(x+n*y, y) ...

... ça vaut mieux vous me direz ^^