Arithmétique PGCD

[invited5efedfa]

Bonjour les ami(e)s j'ai un petit problème avec un exo de spé maths :
Montrer que pour tout entier n, pgcd(5n^3-n;n+2)=pgcd(n+2;38)
Déterminer l'ensemble des entiers n tel que n+2 divise 5n^3-n
(Ca c fait)
Quelles sont les valeurs possibles du pgcd de 5n^3-n et n+2?
déterminer l'ensemble des entiers n tels que pgcd(5n^3-n;n+2)=19

Voilà on vient juste de commencer les pgcd et j'ai du mla (je tiens à dire que j'ai travaillé sur mon dm avant de vouler le donner comme ca)

Merci d'avance
Cordialement
Raptor
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[invited9092432]

salut,

ce serait bien d'écrire tes résultats pour commencer.

Cordialement.

[invited5efedfa]

alors pour la 1 j'ai fais l'algortithme d'euclide
5n^3-n=(n+2)-2n+5n^3-2
n+2=-2n+5n^3-2+4+3n-5n^3
-2n+5n^3-2=4+3n-5n^3+10n^3-5n-6

et voilà où je bloque, je crois pas utliser la bonne méthode...
Pour la 3 et 4 j'y arrive pasnon plus

[invitea3eb043e]

Il faut poser la division de 5 n^3 - n par (n+2) comme si c'était une division de nombres entiers et on trouve :
5 n^3 - n = (n+2) (5 n² - 10 n + 19) - 38
Et là tu conclus sur les diviseurs de 38, il n'y en a pas beaucoup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5efedfa]

Il faut poser la division de 5 n^3 - n par (n+2) comme si c'était une division de nombres entiers et on trouve :
5 n^3 - n = (n+2) (5 n² - 10 n + 19) - 38
Et là tu conclus sur les diviseurs de 38, il n'y en a pas beaucoup.

Mais comment tu justifies que le pgcd(5n^3-n;n+2)=pgcd(n+2;38)?
Et en plus là on a obtenu -38

[invite35452583]

Et en plus là on a obtenu -38

Tu connais beaucoup de nombre entier qui divise 38 ou -38 mais pas l'autre ?

Mais comment tu justifies que le pgcd(5n^3-n;n+2)=pgcd(n+2;38)?

Ca doit être dans ton cours. Grace à la relation donnée par Jean-Paul on peux montrer qu'un diviseur commun à 5n³-n et n+2 divise aussi 38, de même un diviseur de n+2 et de 38 divise aussi 5n³-n. Donc les divisuers communs de 5n3-n et n+2 sont les mêmes que les diviseurs communs de n+2 et de 38, en particulier le grand de chacune de ses familles (pgcd) sont égaux.

[invited5efedfa]

Tu connais beaucoup de nombre entier qui divise 38 ou -38 mais pas l'autre ?

Ca doit être dans ton cours. Grace à la relation donnée par Jean-Paul on peux montrer qu'un diviseur commun à 5n³-n et n+2 divise aussi 38, de même un diviseur de n+2 et de 38 divise aussi 5n³-n. Donc les divisuers communs de 5n3-n et n+2 sont les mêmes que les diviseurs communs de n+2 et de 38, en particulier le grand de chacune de ses familles (pgcd) sont égaux.

d'accord merci et pour les autres questions je fait comment?

[invite35452583]

d'accord merci et pour les autres questions je fait comment?

Les deux dernières reviennent une à pgcd(n+2,38)=? (ce sont des diviseurs de 38 ce qui ne laisse pas beaucoup de cas à regarder) et l'autre à pgcd(n+2,38)=19 donc qui divise quoi ? mais qui ne divise pas quoi ? ce qui laisse comme possibilité pour n...

[invited5efedfa]

Les deux dernières reviennent une à pgcd(n+2,38)=? (ce sont des diviseurs de 38 ce qui ne laisse pas beaucoup de cas à regarder) et l'autre à pgcd(n+2,38)=19 donc qui divise quoi ? mais qui ne divise pas quoi ? ce qui laisse comme possibilité pour n...

je sais que si n-2 est un multiple de 38 alors pgcd(n-2;38)=38 mais si c'est aps le cas je sais pas quoi dire...
Et pour la dernière question j'y arrive aps non plus que dois-je faire exactement?

[invitec811222d]

Tu as du voir dans ton cours normalement que si et sont deux entiers alors où est le reste de la division euclidienne de par .

[invited5efedfa]

Tu as du voir dans ton cours normalement que si et sont deux entiers alors où est le reste de la division euclidienne de par .

je suis bien d'accord mais quel est le rapport avec la question trouver les pgcd de n+2 et 38?

[invite35452583]

je sais que si n-2 est un multiple de 38 alors pgcd(n-2;38)=38 mais si c'est aps le cas je sais pas quoi dire...
Et pour la dernière question j'y arrive aps non plus que dois-je faire exactement?

Tu sais que pgcd(n+2;38) est toujours un diviseur de 38.
Quels sont ceux-ci ? Pour chacun d'entre eux, notons un quelconque d, trouver un N (ici il n'en faut qu'un), si c'est possible, tel que pgcd(N,38)=d (on a alors n=N-2). Et si ce n'est pas possible justifier pourquoi.

Pour la dernière, on repose N=n+2.
On a pgcd(N,38)=19
Que peux-tu dire de 19 et de N ? Que peux-tu dire de 2 et N ? Que peux-tu dire d'un nombre N qui vérifie les deux propriétés que tu auras trouvé ? Quels sont les nombres N qui vérifient ces deux propriétés ?
A la fin tu n'oublies pas que n=N-2.

[invited5efedfa]

Tu sais que pgcd(n+2;38) est toujours un diviseur de 38.
Quels sont ceux-ci ? Pour chacun d'entre eux, notons un quelconque d, trouver un N (ici il n'en faut qu'un), si c'est possible, tel que pgcd(N,38)=d (on a alors n=N-2). Et si ce n'est pas possible justifier pourquoi.

Pour la dernière, on repose N=n+2.
On a pgcd(N,38)=19
Que peux-tu dire de 19 et de N ? Que peux-tu dire de 2 et N ? Que peux-tu dire d'un nombre N qui vérifie les deux propriétés que tu auras trouvé ? Quels sont les nombres N qui vérifient ces deux propriétés ?
A la fin tu n'oublies pas que n=N-2.

Les diviseurs de 38 sont 1; 2;19 et 38. Si N=38 alors pgcd(38;38=38
donc n=36
si N=19 pgcd(19,38)=19 donc N=17Si N=2 alors pcgd(2;38)=2
Si N=1 alors là on a rien car sinon aurait =-1 ce qui est pas possible

Si pgcd(N;38)=19 alors comme 38=19*2 alors N=19 donc 38=N*2
Donc n=17 c'est ca?

[invited5efedfa]

c'est correct?

[invite35452583]

Si N=1 alors là on a rien car sinon aurait =-1 ce qui est pas possible

Si pgcd(N;38)=19 alors comme 38=19*2 alors N=19 donc 38=N*2
Donc n=17 c'est ca?

pgcd(N,38)=1 si N=1 mais pas seulement pour cette valeur de N.
Idem pgcd(N,38)=19 est vraie aussi si N=95 par exemple.

[invited5efedfa]

pgcd(N,38)=1 si N=1 mais pas seulement pour cette valeur de N.
Idem pgcd(N,38)=19 est vraie aussi si N=95 par exemple.

oups alors où est l'erreur de raisonnement ? comment la corriger?

[invited5efedfa]

En fait si n+2 et 38 sont premiers entre eux alors pgcd(n+2;38)=1
et si n+2 est diviseur alors le pgcd est égale soit à 2 soit à 19 soit à 38 amis comment faire pour els autres cas?