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Demonstration matrice



  1. #1
    stephaninho

    Demonstration matrice


    ------

    Bonjour a tous !

    j'ai la un petit soucis, je dois verifier plusieures choses. vrai ou faux...

    D'abord que si det(A) = 0 la matrice n'est pas diagonalisable. Je suis parti de la definition de la diagonalisation mais en vain.

    aussi, de la meme facon, je dois verifier si A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0

    Merci d'avance,

    Stephane.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Antho07

    Re : Demonstration matrice

    Tout simplement parce que c'est faux.
    Une matrice de determinant nul peut tres bien etre diagonalisable.

    Prend la matrice 0,0,0
    ______________0,1,0
    ______________0,0,1

    elle est diagonale (donc diagonalisable) et pourtant de determinant nul.

    Maintenant ça c'est dans le cas génral. Il me semble que ici A est particulier.
    Donne nous la mtrice A pour qu'on puisse t'aider




    EDIT: det(A)=0 <=> 0 est valeur propre de A

  4. #3
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par stephaninho Voir le message
    Bonjour a tous !

    j'ai la un petit soucis, je dois verifier plusieures choses. vrai ou faux...

    D'abord que si det(A) = 0 la matrice n'est pas diagonalisable. Je suis parti de la definition de la diagonalisation mais en vain.

    aussi, de la meme facon, je dois verifier si A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0

    Merci d'avance,

    Stephane.
    Sans savoir explicitement de quelle matrice il est question, il est difficile de t'aider.

  5. #4
    Antho07

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Sans savoir explicitement de quelle matrice il est question, il est difficile de t'aider.
    Oue j'ai traité le cas général pour la premiere question mais la 2eme question montre que c'est pas du cas général.

    Donne nous la matrice A

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    stephaninho

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    Tout simplement parce que c'est faux.
    Une matrice de determinant nul peut tres bien etre diagonalisable.

    Prend la matrice 0,0,0
    ______________0,1,0
    ______________0,0,1

    elle est diagonale (donc diagonalisable) et pourtant de determinant nul.

    Maintenant ça c'est dans le cas génral. Il me semble que ici A est particulier.
    Donne nous la mtrice A pour qu'on puisse t'aider




    EDIT: det(A)=0 <=> 0 est valeur propre de A

    Merci bcp de ton aide !

    Comment tu pourrais le demontrer autrement qu'avec un contre exemple ? juste une chose, je trouve 1 et 0 comme valeur propre ? c'est juste ?


    concernant le second soucis, c'est general, il n'y a pas de matrice A. Je pense qu'il faut jouer avec les propriété d'addition et de multiplication matrices mais je ne suis pas sur.

    merci encore...

  8. #6
    stephaninho

    Re : Demonstration matrice

    Aucune matrice n'est disponible, c'est general...

    Quelles st les conditions pour qu'une matrice soit diagonalisable ?

  9. Publicité
  10. #7
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par stephaninho Voir le message
    Aucune matrice n'est disponible, c'est general...
    Quelles st les conditions pour qu'une matrice soit diagonalisable ?

    Comme l'a écrit Antho07, il est faux que : si det(A) = 0 la matrice n'est pas diagonalisable.
    det(A)=0 caractérise les matrices non inversibles, ce qui n'a rien à voir avec la diagonalisabilité.

    De même, tu ne peux pas vérifier si A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0 pour une matrice quelconque.
    Il faut que l'on ait donné une forme particulière de la matrice.

  11. #8
    stephaninho

    Aucune matrice n'est disponible, je sais juste que A est carrée reelle.

    Dites, quelles st les conditions pour qu'une matrice soit diagonalisable ?

  12. #9
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par stephaninho Voir le message
    Aucune matrice n'est disponible, je sais juste que A est carrée reelle.

    Dites, quelles st les conditions pour qu'une matrice soit diagonalisable ?
    Voici trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice soit diagonalisable :

    1) Le polynôme caractéristique est scindé et, pour toute valeur propre, son ordre de multiplicité comme racine du polynôme caractéristique est égal à la dimension de l'espace propre associé.

    2) La somme des dimensions des espaces propres est égale à la taille de la matrice.

    3) Le polynôme minimal est scindé à racines simples.

    Mais il y en a d'autres.

  13. #10
    Antho07

    Re : Demonstration matrice

    Si le but est de trouver une matrice qui vérifie ta relation alors cette matrice fonctionne:


  14. #11
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    Si le but est de trouver une matrice qui vérifie ta relation alors cette matrice fonctionne:

    Si le but est de trouver une matrice qui satisfait la relation A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0 (c'est stephaninho qui fera la vérification), il eût été plus simple de prendre A=0 !!!

    Mais il est tout aussi aisé de vérifier que A=I ne satisfait pas la relation A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0.

  15. #12
    Antho07

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si le but est de trouver une matrice qui satisfait la relation A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0 (c'est stephaninho qui fera la vérification), il eût été plus simple de prendre A=0 !!!

    Mais il est tout aussi aisé de vérifier que A=I ne satisfait pas la relation A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0.

    Il eut en effet été plus simple de prendre A=0 mais surtout plus faux...

    Prendre la matrice compagnon associée n'est pas ce qu'il y a de plus compliqué.

  16. Publicité
  17. #13
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    Il eut en effet été plus simple de prendre A=0 mais surtout plus faux...

    Prendre la matrice compagnon associée n'est pas ce qu'il y a de plus compliqué.
    J'ai répondu trop vite

  18. #14
    stephaninho

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Voici trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice soit diagonalisable :

    1) Le polynôme caractéristique est scindé et, pour toute valeur propre, son ordre de multiplicité comme racine du polynôme caractéristique est égal à la dimension de l'espace propre associé.

    2) La somme des dimensions des espaces propres est égale à la taille de la matrice.

    3) Le polynôme minimal est scindé à racines simples.

    Mais il y en a d'autres.

    Je suis sincerement desole mais mes notions d'espaces vectoriels sont limites, je suis en meca.. lol

    Si tu pouvais reformuler tes criteres je t'en serai tres reconnaissant.

    Aussi, concernant la demonstration avec l'addition de la matrice A, j'aimerais savoir, plus que le resultat, le raisonnement que vous auriez eu si ca avait et une matrice par exemple

    122
    013
    320

    Je l'ai choisie completement au hasard, c'est le raisonnement qui m'interesse...

    merci encore a tous pr votre aide !

    steph

  19. #15
    stephaninho

    Re : Demonstration matrice

    Pour anto et god's breath : l'objectif n'est pas du tout de trouver une matrice. sur le partiel de l'an passé, il y a ecrit*

    Vrai ou faux ? (jusfifier) A designe une matrice carrée reelle :

    (i) A^3 + 2A^2... -> inversible
    (ii) det(A) = 0 -> A non-diagonalisable

    et pas de matrice A en vue pour cet exercice.

  20. #16
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par stephaninho Voir le message
    Pour anto et god's breath : l'objectif n'est pas du tout de trouver une matrice. sur le partiel de l'an passé, il y a ecrit*

    Vrai ou faux ? (jusfifier) A designe une matrice carrée reelle :

    (i) A^3 + 2A^2... -> inversible
    (ii) det(A) = 0 -> A non-diagonalisable

    et pas de matrice A en vue pour cet exercice.
    Si tu avais tout de suite donné l'énoncé exact, tu aurais évité des quiproquos et eu tout de suite des réponses pertinentes.

    (i) vrai : si [tex]A^3 - 2A^2 + 3A + 4I = 0[tex], alors [tex]A^3 - 2A^2 + 3A = -4I[tex], soit [tex]-\frac{1}{4}(A^2 - 2A + 3I)A = I[tex] et est inversible avec [tex]A^{-1} = -\frac{1}{4}(A^2 - 2A + 3I)[tex]

    (ii) faux : si A=0, alors det(A)=0 et A est diagonalisable puisque diagonale.

    encore une fois det(A) nul, c'est un problème de non-inversibilité de la matrice, ce qui n'a rien à voir avec la diagonalisabilité.

  21. #17
    Antho07

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si tu avais tout de suite donné l'énoncé exact, tu aurais évité des quiproquos et eu tout de suite des réponses pertinentes.

    (i) vrai : si , alors , soit et est inversible avec

    (ii) faux : si A=0, alors det(A)=0 et A est diagonalisable puisque diagonale.

    encore une fois det(A) nul, c'est un problème de non-inversibilité de la matrice, ce qui n'a rien à voir avec la diagonalisabilité.
    j ai recopié le post en corrigeat les balises tex

  22. #18
    God's Breath

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    j ai recopié le post en corrigeat les balises tex
    Merci Antho07,

    Je n'ai pas encore trouvé comment modifier les messages, bien que j'en aie théoriquement la possibilité.

  23. Publicité
  24. #19
    MiMoiMolette

    Re : Demonstration matrice

    Seulement en moins de 5 minutes, sinon il faut contacter un modérateur
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  25. #20
    Gwyddon

    Re : Demonstration matrice

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si tu avais tout de suite donné l'énoncé exact, tu aurais évité des quiproquos et eu tout de suite des réponses pertinentes.
    Bonsoir,

    Juste une petite remarque : il est têt plus judicieux de faire la remarque gentiment
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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