[Algèbre] Démonstration matrice orthogonale

[invitec8ddab2a]

Bonjour.

J'ai résolu un problème posé. Sans trop de difficulté même je dois dire. C'est pourquoi je me demande s'il est bien résolu. J'arrive à la bonne réponse, c'est justement ça qui me trouble. Ca parait trop simple venant du prof.

Voici l'énnoncé :

Montrez que si S est anti-symétrique alors A = (I - S)(I +S)^ -1 est orthogonale

Où I est une matrice identité

Voici ma résolution :

Hypothèse :
S = -S^T (définition d'une matrice symétrique)
Thèse :
A = (I - S)(I + S)^ -1
A = (A^T)^ -1 (définition d'une matrice orthogonale)

Démonstration :
A = (I - S)(I + S)^ -1 = (I + S^T)(I - S^T)^ -1
Or A^T = (I + S)(I - S)^ -1

et donc, (A^T)^ -1 = (I - S)(I + S)^ -1 = A

CQFD

Tous les autres exercices de la liste prenaient plus de temps et de réflexion pour être résolu. Je me demande donc si je n'ai pas passé des étapes que je n'aurais pas du, fait des choses interdites.

Si vous voyez quelque chose de faux, merci de me prévenir.

PS : je n'ai pas utilisé les balises LaTeX, car je n'en voyais pas forcément l'avantage ici, cependant si vous trouvez qu'elles faciliteront la lecture, je peux toujours éditer.

Ifiroth.
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[invite2c3ff3cc]

Avec un petit mot pour rappeler pkoi I+S est inversible

[invitec8ddab2a]

Ok ok merci. Il n'était donc pas très compliqué.

[Bleyblue]

Dites ça peut sembler idiot mais je ne vois ni pourquoi I + S est inversible ni d'ou provient l'égalité :

A^T = (I + S)(I - S)^ -1

Pouvez-vous m'éclairer ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Dites ça peut sembler idiot mais je ne vois ni pourquoi I + S est inversible

Démo en dimension finie (je ne sais plus si ça reste vraie en dimension infinie )
Si on prend le produit scalaire (donc réel) usuelle (la base canonique est une base orthonormale), on a pour toute matrice
<Ax,y>=<x,A^Ty>
Si on applique ceci à une matrice anti-symétrique, on a :
<Sx,y>=<x,-Sy>
Maintenant on considère une valeur propre réelle k et un vecteur propre x non nul
k<x,x>=-k<x,x> d'où k=0 car le produit scalaire usuelle est défini strictement positif (tant que l'on reste dans les réels, les v.p. complexes n'ont aucune raison d'être nulle : par exemple pour la plus simple d'entre elles un rapide calcul du polynôme caractéristique montre que i et -i sont v.p., en modifiant un peu cette démo on montre que les v.p. sont toutes imaginaires pures).
Ainsi (I+S)(x)=0 implique S(x)=-x et donc -1 est valeur propre ce qui est impossible donc I+S est injectif et donc inversible.

ni d'ou provient l'égalité :

A^T = (I + S)(I - S)^ -1

Je pense que tu n'as pas fait attention que (I+S) et (I-S) commutent et donc (I+S) et (I-S)^-1 aussi

Maintenant je vois quelques problèmes dans la démonstration pour les yeux d'un correcteur.

Démonstration :
A = (I - S)(I + S)^ -1 = (I + S^T)(I - S^T)^ -1

Question d'"élégance" mais caractéristique aux yeux d'un lecteur d'une mauvais maîtrise de la démonstration : où est-ce que le dernier membre est utilisé ailleurs dans la démo, nul part donc inutile ce qui rend toute la ligne complètement inutile.

Or A^T = (I + S)(I - S)^ -1

Ici, il y a un manque de détails par contre (cf. question de Bleyblue, )
Il vaut détailler. Ce qui choque le plus c'est qu'on ne sait pas du tout si tu es au courant que (AB)^T=B^TA^T mais que ici A et B commutent (on ne sait pas plus si tu es au courant de ça non plus d'ailleurs) ou si tu crois que (AB)^T=A^TB^T. De même pour la dernière ligne il n'est pas forcément inutile d'introduire un membre de plus exhibant le fait que (AB)-1=B^-1A^-1.
Comme tu l'as remarqué toi-même il n'est question ici que de simples manipulations algébriques donc il faut montrer toutes les étapes. On te donne l'hypothèse et la conclusion, quelqu'un qui ne sait pas le faire va rendre une copie du type (A^T)^-1=bla-bla=ce qu'il faut. Pour moi, on a bien du mal à discerner ce que tu as fait d'une copie de ce type donc ne t'étonne pas de ne pas avoir l'entièreté des points si tu rends ta copie ainsi.
Rappel : règle d'un correcteur "dans le doute abstient toi*" (* : de donner tous les points )

[Bleyblue]

ok je comprends mieux, merci bien !