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Arithmétique (pgcd...)



  1. #1
    Andre 3000

    Exclamation Arithmétique (pgcd...)

    Bonjour à tous

    Voici mon problème. On a a, b et c des entiers naturels tels que chacun des trois divise le produit des deux autres. Il faut exprimer c en fonction de a et b.

    1) Quand a et b premiers entre eux
    2) Quand pgcd(a;b)=d

    Première question, pas de soucis, gauss etc, on a c=ab.

    Mais problème pour la 2e question, j'ai essayé plusieurs directions. Tout d'abord, j'ai essayé de me rapporter à la question 1, en utilisant des nombres premiers entre eux, à savoir a/d et b/d. J'arrive à (ab/d²)|c, mais à partir de là je ne peux plus faire grand chose.
    J'ai essayé de voir d'autres caractérisations du PGCD, d|a et d|b, ou au
    bv=d ou a=da' et b=db', mais soit j'arrive au même niveau avec (ab/d²)|c, soit rien du tout.
    Et en fait, mon gros soucis, c'est que je ne sais pas quoi faire du c|ab. Moi ce que j'aimerais faire, c'est en quelque sorte "encadrer" c, en faisant X|c et c|X, pour pouvoir faire après c=X.

    J'espère n'avoir pas ét trop confus, et en fait je ne veux même pas la solution de l'exercice, j'aimerais trouver par moi même, mais j'ai besoin d'un petit coup de main, une idée, un éclaircissement, parce que je planche dessus depuis quelque jours et je tourne en rond.

    Merci

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Arithémétique (pgcd...)

    Je dirais que c = a' b' d
    On peut raisonner sur les décompositions en facteurs premiers de a et b et regarder où trouver ces facteurs dans c.

  4. #3
    Andre 3000

    Re : Arithémétique (pgcd...)

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Je dirais que c = a' b' d
    On peut raisonner sur les décompositions en facteurs premiers de a et b et regarder où trouver ces facteurs dans c.

    Mais mon problème, c'est que je n'ai pas encore vu les décompositions en facteurs premiers. C'est qu'avec le coours sur le pgcd que je dois faire ça.

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Arithmétique (pgcd...)

    Plop,

    Tu peux te servir du a=da' et b=db' avec a' et b' premiers entre eux.

    Or, a|bc.
    Donc a'|b'c
    Mais comme a' et b' premiers entre eux, alors a'|c

    De même avec b|ac, b'|c
    => c=ka'b', a'b'=c/k

    Or, c|ab=d²a'b'

    donc d²a'b' = k'c
    d²c/k = k'c
    d²=kk'

    Bon...je sais pas si ça pourra aider, pas été plus loin pour l'instant
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. #5
    Andre 3000

    Re : Arithmétique (pgcd...)

    Oui, mais je dois pas utiliser de coefficients comme k, k' normalement...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MiMoiMolette

    Re : Arithmétique (pgcd...)

    Oui, dans le résultat final, je sais bien !
    Il faut réinjecter tout ça ^^
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  10. #7
    Andre 3000

    Re : Arithmétique (pgcd...)

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Oui, dans le résultat final, je sais bien !
    Il faut réinjecter tout ça ^^

    Réinjecter tout ça?^^ La j'y comprends vraiment plus rien :l)

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