Arithmétique (pgcd...)

[invite86692c05]

Bonjour à tous

Voici mon problème. On a a, b et c des entiers naturels tels que chacun des trois divise le produit des deux autres. Il faut exprimer c en fonction de a et b.

1) Quand a et b premiers entre eux
2) Quand pgcd(a;b)=d

Première question, pas de soucis, gauss etc, on a c=ab.

Mais problème pour la 2e question, j'ai essayé plusieurs directions. Tout d'abord, j'ai essayé de me rapporter à la question 1, en utilisant des nombres premiers entre eux, à savoir a/d et b/d. J'arrive à (ab/d²)|c, mais à partir de là je ne peux plus faire grand chose.
J'ai essayé de voir d'autres caractérisations du PGCD, d|a et d|b, ou au
bv=d ou a=da' et b=db', mais soit j'arrive au même niveau avec (ab/d²)|c, soit rien du tout.
Et en fait, mon gros soucis, c'est que je ne sais pas quoi faire du c|ab. Moi ce que j'aimerais faire, c'est en quelque sorte "encadrer" c, en faisant X|c et c|X, pour pouvoir faire après c=X.

J'espère n'avoir pas ét trop confus, et en fait je ne veux même pas la solution de l'exercice, j'aimerais trouver par moi même, mais j'ai besoin d'un petit coup de main, une idée, un éclaircissement, parce que je planche dessus depuis quelque jours et je tourne en rond.

Merci
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[Jeanpaul]

Je dirais que c = a' b' d
On peut raisonner sur les décompositions en facteurs premiers de a et b et regarder où trouver ces facteurs dans c.

[invite86692c05]

Je dirais que c = a' b' d
On peut raisonner sur les décompositions en facteurs premiers de a et b et regarder où trouver ces facteurs dans c.

Mais mon problème, c'est que je n'ai pas encore vu les décompositions en facteurs premiers. C'est qu'avec le coours sur le pgcd que je dois faire ça.

[invite1237a629]

Plop,

Tu peux te servir du a=da' et b=db' avec a' et b' premiers entre eux.

Or, a|bc.
Donc a'|b'c
Mais comme a' et b' premiers entre eux, alors a'|c

De même avec b|ac, b'|c
=> c=ka'b', a'b'=c/k

Or, c|ab=d²a'b'

donc d²a'b' = k'c
d²c/k = k'c
d²=kk'

Bon...je sais pas si ça pourra aider, pas été plus loin pour l'instant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86692c05]

Oui, mais je dois pas utiliser de coefficients comme k, k' normalement...

[invite1237a629]

Oui, dans le résultat final, je sais bien !
Il faut réinjecter tout ça ^^

[invite86692c05]

Oui, dans le résultat final, je sais bien !
Il faut réinjecter tout ça ^^

Réinjecter tout ça?^^ La j'y comprends vraiment plus rien :l)