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Formule du binôme généralisée



  1. #1
    Universus

    Formule du binôme généralisée

    Bonjour,

    Je voulais savoir quels étaient les conditions à respecter pour que la formule du binôme généralisée soit vraie, soit :



    La valeur absolue de a/b doit-elle absolument être inférieure à 1? r peut-il être n'importe quel réel?

    Je ne demande pas nécessairement d'avoir toute la théorie qui va autour (ce qui serait néanmoins l'idéal... mais ce n'est pas des cours qu'on demande ici), n'ayant de toute façon jamais vu le sujet en classe. C'est que j'ai essayé de l'utiliser dans d'autres cas que r élément des naturels et je n'obtiens pas toujours l'égalité ci-dessus... Alors je me dis qu'il doit y avoir des 'restrictions' que j'ignore.

    Merci pour votre aide

    Universus

    EDIT : par exemple, est-ce grave si c'est a qui est affecté de l'exposant r-k et non b? Merci.

    -----


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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : Formule du binôme généralisée

    Plop,

    r doit être un entier, enfin dans les exos que j'ai faits, ça l'a toujours été
    Que tu intervertisses r-k avec k, ça n'a aucune importance, il suffit que tu fasses quelques essais et tu verras que ça marche.
    Par contre, la somme ne va pas jusqu'à l'infini, mais jusqu'à r (ce qui explique le point précédent).
    Pour a et b, aucune condition dessus.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #3
    M I L A S

    Re : Formule du binôme généralisée

    Euh je voudrais juste ajouter, mais bon au niveau du lycée ca n'a pas vraiment d'importance puisque l'on travaille dedans sans le savoir, cela marche pour tous anneaux avec a et b COMMUTATIF! sinon paf, ca ne marche pas, mais dans notre cas (IR,+,x) marche alors ouf
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."

  5. #4
    Universus

    Re : Formule du binôme généralisée

    Salut à tous,

    Argh... les anneaux commutatifs... que de mots dont je ne comprends pas le sens J'ai bien essayé pourtant de comprendre ce que c'est (j'ai réussi, mais reste en m'en souvenir à présent ). C'est qu'on ne voit pas ces notions par chez moi, alors... Mais, pour tout de même comprendre le sens de commutatif, j'ai déjà lu en effet qu'il fallait que ab=ba. Mon problème est le suivant (ça permettra aussi de te répondre MiMoiMolette):

    Je connais déjà la formule du binôme de Newton, soit :



    où n est un naturel. Les termes k et n-k sont... symétriques entre eux, de telle sorte que peu importe que ce soit a ou b qui soit affecté de k ou de n-k, dans la somme, ce n'est que la position des différents monômes qui varie.

    Mais Newton aurait généraliser sa formule pour des exposants non-entiers et des entiers négatifs, obtenant ainsi la formule citée dans mon précédent message. Je vois bien que la formule généralisée redonne la formule ci-haut pour r élément des naturels, mais les choses se compliquent pour les autre valeurs possibles de r.

    En fait, ne vaut que pour n élément des naturels ; plus généralement, on a . De tels coefficient binomial n'ont pas pour valeur 0 pour toute valeur de k pour r n'étant pas élément des naturels, ce qui expliquent, en un sens, pourquoi il s'agit d'une somme infinie de termes.

    On voit aussi que si r n'est pas un naturel, puisque k en est un, alors k n'est que rarement égal à r-k, ce qui fait que la somme a une toute autre apparence si on a ou , enfin il me semble...

    Merci encore

    Universus

  6. #5
    -Zweig-

    Re : Formule du binôme généralisée

    Citation Envoyé par Universus Voir le message
    Mais Newton aurait généraliser sa formule pour des exposants non-entiers et des entiers négatifs
    Il a même fait encore mieux. Il l'a généralisée pour un nombre quelconques de termes, réels ou complexes (formule du multinôme de Newton) :


    Qui se réécrit encore :


  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Universus

    Re : Formule du binôme généralisée

    En effet, mais je n'ai absolument jamais déchiffré cette notation Oh, je viens de voir ce à quoi correspond le coefficient binomial ; merci, j'ai appris quelque chose aujourd'hui

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  10. #7
    MiMoiMolette

    Re : Formule du binôme généralisée

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Il a même fait encore mieux. Il l'a généralisée pour un nombre quelconques de termes, réels ou complexes (formule du multinôme de Newton) :


    Qui se réécrit encore :

    Que signifie cette écriture de la combinaison ? oO

    Par contre, n reste bien un entier ! Oo
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  11. #8
    -Zweig-

    Re : Formule du binôme généralisée

    MiMoi > La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal).

  12. #9
    Universus

    Re : Formule du binôme généralisée

    Et hop, on ne sait plus ce à quoi vaut le coefficient binomial Merci encore, mais je cherche surtout à comprendre ce qui en est pour des exposants non-naturels. J'aimerais savoir de quelle façon la formule de Newton peut s'appliquer à autres choses qu'à l'infinité de fonctions polynomiales

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : Formule du binôme généralisée

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    MiMoi > La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal).
    Edit suite au message suivant de Zweig : merci, c'est bon now =)

    @Universus : apparemment, ça n'existe pas...ai essayé de trouver sur internet.
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  14. #11
    -Zweig-

    Re : Formule du binôme généralisée

    Mince, pas eu le temps d'éditer, toujours pour MiMoi :

    La deuxième écriture utilise les coefficients multinominaux (le cas où m = 2 donne le coefficient binominal) :



    avec
    Dernière modification par -Zweig- ; 05/01/2008 à 15h25.

  15. #12
    M I L A S

    Re : Formule du binôme généralisée

    excusez, j'ai oublier un s à commutatifS! oups!
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."

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  17. #13
    Universus

    Re : Formule du binôme généralisée

    Eh bien, je pense pouvoir à présent travailler avec le multinôme de Newton, chose que je ne m'attendais pas à découvrir ici ; merci beaucoup Zweig.

    Pour ce qui est du binôme généralisé, j'en ai 'entendu parlé' pour la première fois sur wikipédia (on en traite aussi dans l'article anglais (évidemment)) :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%...%A9ralis%C3%A9

    On y fait mention de certains critères à respecter, mais bon... ça me cause tout de même des problèmes.

    Amicalement

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : Formule du binôme généralisée

    J'en apprends de belles aussi

    J'suis déjà rouillée pour les séries, mais c'est vrai que c'est envisageable ^^

    Bon, l'heure de la pause on dirait XD

    Merci pour tout Zweig
    - Je peux pas, j'ai cours
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    - Je suis le prof

  19. #15
    Flyingsquirrel

    Re : Formule du binôme généralisée

    Citation Envoyé par Universus Voir le message
    J'aimerais savoir de quelle façon la formule de Newton peut s'appliquer à autres choses qu'à l'infinité de fonctions polynomiales
    Une utilisation classique : le calcul des puissances de matrices comme où A est de taille n. Comme précisé par MILAS, ça marche ici parce que la matrice identité commute avec toutes les autres...

  20. #16
    Universus

    Re : Formule du binôme généralisée

    Merci, c'est une application que j'ignorais de cette formule (en fait, vous voyez que j'ignore bien des choses...).

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