Equations fonctionnelles

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Je me suis mis doucement aux équations fonctionnelles pendant les vacances et j'ai trouvé pas mal d'exemples en fouillant dans le forum et sur le net, mais je vous poste ce message pour savoir si vous en avez a me proposer pour que je me fasse la main comme ca on pourra essayer de résoudre ca ensemble.
Donc si vous avez des exemples sympas, peut etre du classique pour commencer (pour etre sur de ne rien louper d'important) puis apres du un peu plus poussé, je vous donnerai mes elements de reponse.

Je voulais aussi savoir si on faisait ce genre de chose en prépa.

Merci d'avance.
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[invitec053041c]

Bonsoir.
Classique du classique:

Trouver toutes les fonctions continues de IR dans IR tq


EDIT:

indications:

 Cliquez pour afficher

-que vaut f(0) ?
-montrer que f est linéaire sur IN
-puis sur IZ
-puis sur IQ
-puis sur IR (pour IR faudra qu'on t'aide sûrement)

[invitefc60305c]

Salut !
http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf
Document très intéressant avec beaucoup d'exo !

[invitea250c65c]

Bnsr,

En effet c'est classique je l'avais deja rencontré mais je suis content que tu m'en parles parce que je n'arrive pas en effet a élargir sur et c'est domage.

Pour tous x et y de on a . Durant toute cette démo, x et y sont réels.
On pose y=x, on a donc f(2x)=2f(x), f(3x)=3f(x) ... de même on montre par récurrence (je le fais ici parce que je n'ai pas trop l'habitude de la recurrence) que f(nx)=nf(x) ( )
On suppose que pour tout , f(nx)=nf(x).
Alors .
Si la propriété est vraie au rang n, alors elle l'est également au rang n+1. On a vu que la propriété était vrai au rang 1 (elle l'est bien sur pour n=0, il suffit de prendre x=0 ou/et y=0) et 2, elle l'est donc pour tout n de .
On prend x=0, on a alors f(0+y)=f(0)+f(y) donc f(y)=f(y)+f(0) donc f(0)=0.
f(0)=f(x+-(x))=f(x)+f(-x) donc f(-x)=-f(x) donc f est impaire.
On peut donc généraliser la propriété f(nx)=nf(x) pour .
Donc, pour tout n de , on a . f est donc une fonction lineaire.
On peut étendre ceci a l'ensemble des rationnels:
Soit p et q et q différent de 0.
On a donc , ce qui montre que cela reste valable sur .

Voila, apres pour élargir sur j'ai du mal je ne vois pas comment faire parce que jusqu'a sur j'avaisdeja rencontré (du moins pour cet exemple). Pouvez vous m'indiquer comment faire si c'est vraiment impossible tel quel a mon niveau ou alors si vous pensez que je peux trouver me donner un indice si c'est faisable, pour que j'essaye de trouver par moi même.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

Merci anonymus pour ton lien j'avais deja trouvé le site et imprimé la page , c'est vrai que c'est tres bien, c'est d'ailleurs la que j'avais rencontré l'équation précédente.

[invitefc60305c]

Pour étendre aux réels, c'est impossible à ton niveau.
Car il faut savoir que Q est dense dans R...

[invitea250c65c]

Ah d'accord en effet j'ai deja entendu parler de ces histoires de densité ... mais bon je suis incapable de faire ca tout seul, comment feriez vous pour étendre aux réels, parce que je ne vois pas ce qui caractérise un réel, c'est plus facil pour les rationnels parce qu'ils sont tous de la forme p/q avec et et on peut utiliser la récurrence sur .
D'ailleurs a ce propos de récurrence sur , ne peut on pas récurrer sur ?
Voici un exemple :
La relation de tout a l'heure : f(nx)=nf(x).
On prend n de , on trouve comme je l'ai fait tout a l'heure que la relation est valable au rang n+1 puis on montre que c'est vrai au 1er rang.
Maintenant, sans utiliser la parité, je veux montrer que la propriété est vrai pour tout n de :
On montre que f(0x)=0f(x) et eventuellement f(-1x)=-1f(x) (ici ca va plus vite d'utiliser la parité en fait, mais je continue quand même), ensuite on écrit :
"On a vu que la propriété était vraie pour n=-1, supposons qu'elle est vraie sur
Soit , on a alors f((n-1)x)=f(nx-x)=f(nx)+f(-x)=nf(x)-f(x)=(n-1)f(x) donc si c'est vrai pour n, ca l'est aussi pour n-1, or c'est vrai pour n=-1, c'est donc vrai sur (car on a deja montré que c'était vrai pour les entiers positifs)"
C'est vrai que la ca va bcp plus vite d'utiliser la parité mais il y a des cas ou ca peut etre pratique comme ca non?
Qu'en pensez vous?

[invitec053041c]

Pour étendre aux réels, c'est impossible à ton niveau.
Car il faut savoir que Q est dense dans R...

Oui c'est ça.
En fait, tu verras que tout réel x est limite d'une suite de rationnels (rn) [c'est exactement ce que vient de dire anonymus].

, il existe une suite (rn) de rationnels tq:


Or, comme f est continue sur tout IR,

[invitec053041c]

D'ailleurs a ce propos de récurrence sur , ne peut on pas récurrer sur

Non, IZ n'est pas un évier. (bon facile )
Tu ne peux pas établir de réccurence sur IZ, car il me semble que ce principe ne peut s'appliquer que sur les ensembles bien ordonnés (toute partie de l'ensemble admet un plus petit élément, ce qui n'est pas le cas de IZ).

[Médiat]

Tu ne peux pas établir de réccurence sur IZ, car il me semble que ce principe ne peut s'appliquer que sur les ensembles bien ordonnés (toute partie de l'ensemble admet un plus petit élément, ce qui n'est pas le cas de IZ).

La fin de cette phrase est juste, mais comme peut-être vu comme la réunion de deux sous-ensembles bien ordonnés (pas par la même relation d'ordre), on peut faire une récurrence avec deux raisonnements (un pour les positifs et un pour les négatifs).

Une autre solution "théoriquement" possible est d'établir une bijection entre et , mais il y a peu de chance pour que le passage de n = n+1 soit simple, et en pratique cette solution est rarement utilisable (au mieux cela revient à faire les deux raisonements donc j'ai parlé ci-dessus).

[invitec053041c]

La fin de cette phrase est juste, mais comme peut-être vu comme la réunion de deux sous-ensembles bien ordonnés (pas par la même relation d'ordre), on peut faire une récurrence avec deux raisonnements (un pour les positifs et un pour les négatifs).

Oui d'accord.Je n'ai jamais réellement osé faire de raisonnement par récurrence sur les entiers négatifs, même si cela me semble intuitif autant que sur les entiers positifs, de peur de retrouver toute la gamme du rouge sur ma copie .

[invitec053041c]

J'aime bien celle-ci:

[invitefc60305c]

On fait quoi avec ça ?
Trouver toutes les fonctions tq... ??

[invitec053041c]

On fait quoi avec ça ?
Trouver toutes les fonctions tq... ??

Oui , c'est vrai que c'est le plus important.

[Médiat]

J'aime bien celle-ci:

Je me plante complètement ou c'est évident ?

[invitec053041c]

Je me plante complètement ou c'est évident ?

C'est assez facile mais dit toujours ?

[Médiat]

 Cliquez pour afficher

f(x) = 1/2 - x

[invitec053041c]

Si c'est bien ça , mais en général les équations fonctionnelles (niveau TS) ne mènent pas à des fonctions affreuses.
J'aime juste la méthode, j'ai fait quelque chose comme ça (il doit y avoir plus simple):

 Cliquez pour afficher

D'où

En posant f(0)=a, on a f(x)=a-x, et en reportant dans la première, le 1/2 vient tout seul .
Comment l'as-tu vu du premier coup d'oeil ?

[Médiat]

Ce n'est pas beaucoup plus court.

 Cliquez pour afficher

Soit u tel que f(u) = 0 (avec x = 1 et y = 0 on voit bien que u existe)
f(x-f(u)) = 1 - x - u càd f(x) = 1 - x - u
en particulier f(u) = 1 - 2u = 0 d'où u = 1/2

[invitec053041c]

D'accord .

[invitea250c65c]

Ah oui j'avais celle la aussi ds le cours que j'ai récupéré, mais je l'ai résolu d'une maniere un peu différente :
Soit f une solution éventuelle,
on pose x=f(y), il vient alors f(0) (car f(f(y)-f(y)))=1-y-f(y) soit f(y)=-y+1-f(0)
il nous reste dc a trouver f(0), pour cela on pose x=f(0) et y=0, on a alors
f(0) (car f(f(0)-f(0))) =1-f(0) soit f(0)=1/2 donc f(y)=-y+1/2.

C'est un peu différent de ce qu'ily avait dans le cours (désolé la redac est pas top, il manque les pour tout x, ...).

Si vous en avez d'autres, je suis preneur , et deja un grand merci pour celles ci.

Pour l'ensemble des réels, c'est bien compris, je vais essayer de trouver une démo a la propriété que tu m'as donné (tout réel est la limite d'une suite de rationnels).

Ledescat, tu dis "niveau TS" en parlant des équations fonctionnelles, on voit ca en TS? Je ne savais pas. je savais qu'on avait un peu d'équations différentielles mais c'est tout (enfin une équa diff est une équation fonctionnelle, mais disons que la méthode est bcp plus automatique et répétitive).

A+

[invitec053041c]

Non on n'a pas d'équations fonctionnelles en TS, je parle juste du "niveau" .

[invitef60ce002]

'lut,

on voit les équations fonctionnelles en sup ou non ? Car je n'ai pas vu de chapitre qui leur sont consacrées dans le programme de mpsi, juste des cas particuliers au milieu d'un chapitre. J'ai mal regardé ?

bye

[invitec053041c]

Oui des cas particuliers assez rarement.

[FonKy-]

J'ai fait comme ta solution Electrofred, c'est beaucoup moins tordu et plus rapide ( je défend ma méthode ). Par contre de la à dire que c'est evident, faut plutot 2 minutes que 2 secondes pour trouver, mais les paroles de certains gens peuvent en affoler d'autres comme moi

[FonKy-]

Sinon pour ce qui est du niveau d'apprentissage des equations fonctionnelles, je me demande s'il yen a un. Perso je trouve qu'il ya aucun niveau minimum (je parle ici à des gens qui ont des bases tout de meme). Il suffit de connaitre la definition dune fonction, et d'avoir un peu de jugeote =) Par contre je suis surpris que les lyceens comme electrofred connaissent la signification d'une fonction linéaire.

Cordialement, FonKy-

[invitefc60305c]

On va dire que Electrofred n'est pas un lycéen lambda et que ses connaissances dépassent le programme du lycée

[invitec053041c]

D'autant plus que les fonctions linéaires sont du programme de collège (3ème).

[invitefc60305c]

Oui enfin bon, ça fait longtemps que nous, lycéens, avons oublié le programme du collège !

[invitec053041c]

Oui enfin bon, ça fait longtemps que nous, lycéens, avons oublié le programme du collège !

, en tout cas c'est vrai que lorsqu'on n'entretient pas une notion, on perd vraiment très vite.
En prépa on ne fait plus ni probabilités,ni statistiques. Et je me suis retrouvé à aider ma voisine (de seconde !) sur le chapitre des statistiques, et bien c'était le grand plongeon . Heureusement je suis retombé sur mes pattes, mais ça s'oublie vite ces bêtes là !