Equations fonctionnelles

invitea250c65c · 02/08/2007, 13h03

Bonjour et merci,

En fait j'ai retrouvé le site ou j'avais trouvé cette équation fonctionnelle, c'est sur ce site

: http://forums.futura-sciences.com/thread128245.html.
En fait j'ai lu qu'on pouvait trouver, en choisissant astucieusement x et y, g(x)=g(0)=0 et donc $\text{[math]}$ , ce qui simplifie énormément les calculs.
On trouve donc g(x)=0 et f(x)=kx, avec k>0. Domage que je ne m'en sois apercu que maintenant

, mais bon comme ca la prochaine fois je ferai attention à bien tout essayer avant d'introduire une variable

.
C'est ca qui est dur aussi dans les équations fonctionnelles, c'est qu'on ne sait jamais jusqu'ou on peut aller, on pourra trouver par exemple que l'ensemble des fonctions solutions solution sont de la forme ax+b, mais on ne sait pas si on peut determiner a et b ou bien juste un des deux ou bien imposer des conditions sur ces nombres (par exemple b>0 ou bien avoir une relation entre a et b ...), en fait pour voir si on ne peut pas préciser il faut essayer les fonctions et voir si reciproquement elles verifient bien la (ou les) condition(s) de départ (ce que je n'ai pas fait ici

).

**Médiat** · 02/08/2007, 14h13

Quelque chose doit m'échapper, mais :
1) je ne suis pas convaincu par la démonstration de g(x) = 0
2) la fonction f(x) = kx - $\text{[math]}$ avec k>0 et g(x) = $\text{[math]}$ quelconque, me semble convenir...

invitefc60305c · 02/08/2007, 15h27

[QUOTE=Electrofred;1219328]Bonjour et merci,

En fait j'ai retrouvé le site ou j'avais trouvé cette équation fonctionnelle, c'est sur ce site

: http://forums.futura-sciences.com/thread128245.html.
En fait j'ai lu qu'on pouvait trouver, en choisissant astucieusement x et y, g(x)=g(0)=0 et donc $\text{[math]}$ , ce qui simplifie énormément les calculs.
[QUOTE]

Ah je me disais bien que j'l'avais déjà vu cette équation !

invitec053041c · 02/08/2007, 15h34

Oui ben comme le dit Médiat ça semble être une entourloupe.
Car pour g(0) non nul ça fonctione très bien.

**FonKy-** · 02/08/2007, 17h17

Envoyé par Médiat

Quelque chose doit m'échapper, mais :
1) je ne suis pas convaincu par la démonstration de g(x) = 0
2) la fonction f(x) = kx - $\text{[math]}$ avec k>0 et g(x) = $\text{[math]}$ quelconque, me semble convenir...

Envoyé par Ledescat

Oui ben comme le dit Médiat ça semble être une entourloupe.
Car pour g(0) non nul ça fonctione très bien.

Non en fait ya pas d'entourloupe, je vais essayer de vous le démontrer puis vous me direz si c'est juste

:

On a: $\text{[math]}$ (0)

pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ => $\text{[math]}$

pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ (1)
=> $\text{[math]}$

pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ => $\text{[math]}$ (2)
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

1e cas: g(0)=0 => g(x)=0 car f° constante

2ecas: $\text{[math]}$ => $\text{[math]}$
=> g est impaire, or la seule fontion impaire constante est la fonction nulle

Mais j'ai pu me tromper

Cordialement , FonKy-

**Médiat** · 02/08/2007, 17h27

Envoyé par FonKy-

pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ (1)
=> $\text{[math]}$

pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , moi je trouve :
$\text{[math]}$ c'est à dire
$\text{[math]}$ rien de neuf...

**invite35452583** · 03/08/2007, 02h14

Envoyé par Médiat

pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , moi je trouve :
$\text{[math]}$ c'est à dire
$\text{[math]}$ rien de neuf...

Je pense que Fonky veut parler de f(0-x)=f(0)-f(x)-g(0)g(x). Mais tu as raison il y a bien un problème dans la "démo".

Il en déduit que f(-x)=-f(x) supposant implicitement que g(0)g(x)=f(0) (ce qui est faux cf ci après quand f(0) est non nul)
Ensuite il y a une déduction (1)+(2) (qui utilise f(-x)=-f(x) vu le résultat obtenu) pour en déduire que g est nulle (en supposant que g est constante en outre ce qui n'a pas encore été montré g(x)=+/-truc n'a jamais fait qu'ne fonction soit constante à moins que +truc ou -truc ne soit pas des valeurs prises par g). Mais déduire que g est nulle de f(-x)=-f(x) est juste, c'est en effet le cas (il suffit de regarder la tête des solutions possibles).

Dans le lien cité on a cette "preuve" :

Supposons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
Finalement on a : $\text{[math]}$

Ainsi, f est une fonction linéaire.

Il y a donc utilisation (dans la partie mise en rouge par moi) de l'égalité g(x)g(0)=-a=-g²(0), à cette condition on a bien g constamment nulle, le hic c'est d'où vient cette égalité ?

Reprenons :
g est constante=a avec a²=-f(0), en effet :
on a pour x réel quelconque f(x-x)=f(x)-f(x)-g(x)g(x)=0-g²(x) donc g²(x)=-f(0).
Mixons, f(x)=f(x-0)=f(x)-f(0)-g(x)g(0), on additionne -f(x) aux deux membres extrêmes on obtient 0=-f(0)-g(x)g(0) d'où g(x)g(0)=-f(0)=g²(x).
Si f(0)=0 alors g(x)=racine(0)=0 pour tout x.
Si f(0) est non nul, on a g(x)=-f(0) qui est aussi non nul, on peut donc diviser les deux membres de l'égalité g(x)g(0)=g²(x) par g(x) et on obtient g(0)=g(x) et ceci pour tout réel x.
(Vu l'égalité ici montrée g(x)g(0)=-f(0), on comprend que l'on arrive à montrer que g est nulle si on suppose g(x)g(0)=f(0)

)
Détermination de f :
on pose h(x)=f(x)+a² cette nouvelle fonction vérifie
h(x-y)=f(x-y)+a²=(f(x)-f(y)-g(x)g(y))+a²=f(x)+a²-f(y)-g(x)g(y)=f(x)+a²-f(y)-a²=h(x)-h(y).
De h(x-y)=h(x)-h(y)
D'où h(0)=h(x-x)=0
D'où h(-x)=h(0-x)=h(0)-h(x)=-h(x)
D'où h(x+y)=h(x-(-y))=h(x)-h(-y)=h(x)-(-h(y))=h(x)+h(y)
A partir de là c'est un classique h est Q-linéaire, de plus h est la translatée d'une fonction croissante donc est croissante donc h est linéaire h(x)=kx avec k positif.

Conclusion :
f est nécessairement de la forme f(x)=kx-m où k et m sont des constantes positives.

Est-ce suffisant ?
Oui, on pose g(x)=racine(m) existe car m posive
f(x-y)=k(x-y)-m
f(x)-f(y)-g(x)g(y)=(kx-m)-(ky-m)-g(x)g(y)=kx-m-ky+m-racine(m)²=kx-ky-m=k(x-y)-m
On a bien f(x-y)=f(x)-f(y)-g(x)g(y).
Maintenant cette application affine est croissante car le coefficient directeur est positif.

Désolé pour certains développements un peu longuets.

**Médiat** · 03/08/2007, 04h45

Envoyé par homotopie

Je pense que Fonky veut parler de f(0-x)=f(0)-f(x)-g(0)g(x).

Je suppose que tu as raison, mais c'est un peu tordu (beaucoup ? (la signification des 2 signes = n'est pas la même dans les deux moitiés de la "phrase")) et inutile (changer le nom d'une variable muette n'a aucun intérêt (mais peut être dangereux) ; x et y sont bien des variables muettes, même si lors des démonstrations on omet les quantificateurs $\text{[math]}$ )

**FonKy-** · 03/08/2007, 13h49

Envoyé par Médiat

Je suppose que tu as raison, mais c'est un peu tordu (beaucoup ? (la signification des 2 signes = n'est pas la même dans les deux moitiés de la "phrase")) et inutile (changer le nom d'une variable muette n'a aucun intérêt (mais peut être dangereux) ; x et y sont bien des variables muettes, même si lors des démonstrations on omet les quantificateurs $\text{[math]}$ )

Vi c'est vrai, mais en fait j'ai pas préciser mais je l'ai faite en vitesse, ya des trucs bien évidemment inutile. Mais en fait dans ma demo je me suis mis en tete ce que quelqu'un a dit precedement comme quoi la fonction g était constante.
Donc en partant de la oO .. lol

FonKy-

invitea250c65c · 31/08/2007, 12h39

Bonjour,

Allez ca faisait longtemps, une autre :

Trouver toutes les fonctions continues de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ telles que $\text{[math]}$ on ait $\text{[math]}$ .

Je bloque un peu dessus.
Je l'ai trouvé je ne sais plus ou,je n'ai pas la correction.
Comment feriez vous? Moi j'y arrive à moitié mais au bout d'un momentn je suis obligé de considerer que si f(a)=b et si f(x)=b alors forcément x=a, ce qui n'est pas forcément vrai (ex : $\text{[math]}$ f(2)=4 mais $\text{[math]}$ signifie que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ )

Merci d'avance.

invitec053041c · 31/08/2007, 13h08

Bonjour.
On peut "sentir un peu les choses" en appliquant f de chaque côté:

$\text{[math]}$

Ce qui nous fait penser évidemment à l'identité

.

En prenant x=0, on a :

$\text{[math]}$

Et il me semble plus facile de montrer que seule l'identité vérifie cela.

**FonKy-** · 31/08/2007, 13h16

Envoyé par Ledescat

Bonjour.
On peut "sentir un peu les choses" en appliquant f de chaque côté:

$\text{[math]}$

Ce qui nous fait penser évidemment à l'identité

.

En prenant x=0, on a :

$\text{[math]}$

Et il me semble plus facile de montrer que seule l'identité vérifie cela.

bah tu viens surtout de montrer que:

$\text{[math]}$

edit: pourquoi je parle moi ? :X

invite4b9cdbca · 31/08/2007, 13h20

ce qui est déja pas si mal, cela montrerait éventuellement que la fonction est dérivable et de dérivée nulle...

et j'efface la suite qui est moyenne.

Cdlt

**FonKy-** · 31/08/2007, 13h23

Envoyé par kron

ce qui est déja pas si mal, cela montrerait éventuellement que la fonction est dérivable et de dérivée nulle...

et j'efface la suite qui est moyenne.

Cdlt

il était frais le pastis kron ?

**Médiat** · 31/08/2007, 13h25

Envoyé par Ledescat

$\text{[math]}$

Et il me semble plus facile de montrer que seule l'identité vérifie cela.

f(x) = |x|

invite66b0c17a · 31/08/2007, 13h29

En effet, l'identité est solution, on peut prouver que f(0) = 0 en faisant x=y, puis y=0.

Ensuite, il faut des considérations sur la continuité pour prouver que c'est la seule solution. Mais est-ce du niveau requis ? Ca me semble un peu difficile ?

invitec053041c · 31/08/2007, 13h29

Fonky !
Médiat a ressorti son bouquin de contre exemples

.

invite4b9cdbca · 31/08/2007, 13h30

Envoyé par FonKy-

il était frais le pastis kron ?

Terrible

mais bon tu as compris ce que je voulais dire

et la valeur absolue marche pas trop concernant la condition générale. A prendre y négatif.
f(f(y))=f(y) n'téait qu'une piste pour envisager la possibilité que f(x)=x, mais c'est une condition plus large.

invite66b0c17a · 31/08/2007, 13h31

Envoyé par Médiat

f(x) = |x|

T'as raison mais |x| ne vérifie pas |x+|y|| = |x| + y
(y= - 1)

invitec053041c · 31/08/2007, 13h34

Envoyé par super nono

En effet, l'identité est solution, on peut prouver que f(0) = 0 en faisant x=y, puis y=0.

Comment tu montres que f(0)=0 ? Je suis curieux là.

**Médiat** · 31/08/2007, 13h35

Envoyé par super nono

T'as raison mais |x| ne vérifie pas |x+|y|| = |x| + y
(y= - 1)

Tu as mal lu mon post, je répondais à Ledescat qui faisait une affirmation un peu rapide

**Médiat** · 31/08/2007, 13h38

Envoyé par Ledescat

Comment tu montres que f(0)=0 ? Je suis curieux là.

En tout cas si cette fonction a une racine, ce ne peut être que 0.

invite66b0c17a · 31/08/2007, 13h50

Envoyé par Ledescat

Comment tu montres que f(0)=0 ? Je suis curieux là.

Sauf erreur :

f(x + f(y)) = f(x) + y,

avec y = 0 : f(x + f(0)) = f(x) [1]

avec y = x : f(x+f(x)) = f(x) + x [2]

[1] donne : f(f(0) + f(0)) = f(0)
f(2f(0)) = f(0)

[2] donne f(f(0)) = f(0)
D'où f(f(0)) + f(0) = 2f(0)
En revenant à l'égalité de définition, c'est le 2ème membre avec x=y=f(0) et en se souvenant que f(f(0)) = f(0), le premier membre s'écrit f(2f(0)).

J'ai bon jusqu'ici ??

Du coup f(0) = 2f(0), et donc f(0) = 0. Ouf !

**FonKy-** · 31/08/2007, 13h51

Envoyé par Médiat

Tu as mal lu mon post, je répondais à Ledescat qui faisait une affirmation un peu rapide

oui et d'ailleurs je veux bien voir ta démo Ledescat comme quoi une fonction reelle involutive ne peut etre que l'identité si c bien ce que tu a voulu dire.
A moins que tout comme médiat j'ai compris de travers et que quand tu disais 'il est plus facile de mq..' tu voulais dire en t'aidant de ce qui precede ^^.

**FonKy-** · 31/08/2007, 13h53

Envoyé par kron

Terrible

mais bon tu as compris ce que je voulais dire

et la valeur absolue marche pas trop concernant la condition générale. A prendre y négatif.
f(f(y))=f(y) n'téait qu'une piste pour envisager la possibilité que f(x)=x, mais c'est une condition plus large.

Heu non on va dire que j'ai pas compris, donc fais nous la démo que cette fonction est dérivable et que sa dérivé est NULLE

( on va rigoler

)

invite66b0c17a · 31/08/2007, 13h53

Envoyé par Médiat

Tu as mal lu mon post, je répondais à Ledescat qui faisait une affirmation un peu rapide

Ah oui. Excuses

invite4b9cdbca · 31/08/2007, 13h58

Envoyé par FonKy-

Heu non on va dire que j'ai pas compris, donc fais nous la démo que cette fonction est dérivable et que sa dérivé est NULLE

( on va rigoler

)

ok je rectifie donc

fonction dérivable à dérivée constante égale à 1

quelque chose m'échappe ?

**FonKy-** · 31/08/2007, 13h59

Envoyé par Ledescat

Fonky !
Médiat a ressorti son bouquin de contre exemples

.

écoute cette fois ci je te defendrais pas

**FonKy-** · 31/08/2007, 14h00

Envoyé par kron

ok je rectifie donc

fonction dérivable à dérivée costante égale à 1

quelque chose m'échappe ?

ben va jusqu'au bout montre nous la dérivabilité , ya pas de piege ne t'en fais pas ! (enfin j'espere pour toi

)

invite4b9cdbca · 31/08/2007, 14h04

on a l'égalité pour tout (x;y)
donc tant qu'à faire on peut prendre un x quelconque et noter y=x+h

on a (f(x+h)-f(x))/(h)=1
et de même par passage à la limite...

d'où j'en déduis que f est dérivable etc.

Edit : FonKy t'es dur avec moi...

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