Equations fonctionnelles

[FonKy-]

Diantre tu t'es forcé à faire des probas et des stats ? ( pichou! )
D'ailleurs je donne des cours à un gars qui passe en terminale, mais hors de question que je luis fasse reviser les stats il me semble que j'en avais pas fait moi en term ! je ferai l'effort pour les probas mais ca reste bien mieux que les stats omg =|

FonKy-
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[invitec053041c]

Oui, les stats ça me gonfle. Les probas, je ne maîtrise plus vraiment...
Une copine part en iut de statistiques, je ne sais pas dans quoi elle s'embarque !
Mais il y en a qui aiment ça (faut croire).
Bon, ne transformons pasle forum en tchat sinon ça va gueuler hihi.

[invitef618c422]

Bonsoir,
un souvenir de ma sup:
f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2,
cordialement

[invitec053041c]

Oui je me souviens de celle-ci aussi. Mon prof était passé par des suites etc... j'avais rien compris .

[FonKy-]

Oui je me souviens de celle-ci aussi. Mon prof était passé par des suites etc... j'avais rien compris .

tu prend y=0

tu tombe alors sur l'équation
Et je suppose que c'est la que tu introduit ta suite ?

FonKy-

[invitec053041c]

Oui c'est ça je crois .
Mais je ne sais plus quelle suite et pourquoi (pratique hein^^).

[invitea250c65c]

Bnjr,

Plus de probas ni de stats en prépa ... super !!! .
Alors pour l'équation que tu as donné Lapluie, je crois avoir une bonne idée, ce n'est pas encore complet, mais presque, et je pense que ce n'est pas la même méthode que vous (avec les suites).

Pour tout x et y réels, on a .
Si on pose y=3x, il vient , on remarque donc que f(2x) est la moyenne arithmétique de f(x) et f(3x).
On peut donc penser que , avec n un réel (pas forcément entier).
On veut donc avoir f(nx), pour ca, on doit avoir au final on trouve y=(2n-1)x. Comme nous on veut du (n+1)x et (n-1)x, on peut penser que c'est judicieux d'écrire (2n-1)x=(n+n-1)x.
Ainsi, on prend y=(n+n-1)x, on a donc et d'apres l'énoncé on peut donc écrire que .
Donc voila, a partir de la, on voit clairement que les fonctions du type f(x)=ax+b, avec a et b réels sont solutions du probleme, pour le montrer, je ne sais pas trop comment faire, on montre facilement qu'elles sont solutions (il suffit de remplacer f par son expression et on trouve facilement), mais je ne vois pas comment montrer que ce sont les seules.
Si vous voyez comment faire ...

Ca a l'air interessant aussi avec les suites, mais j'avoue que je n'ai pas d'idée sur la facon dont on peut proceder, je suis pressé de voir ca.

A+

[FonKy-]

[FonKy-]

Désolé c'est juste que t'avais oublier un x avant, merci je vais étudier ta solution
Ca se faisait par recurence je pense aussi non ?

[invitec053041c]

On peut intuiter les choses en trichant un peu. Quand on cherche des idées , on prend les fonctions les plus gentilles possibles (C-infini):


En dérivant l'expression par rapport à x (et en simplifiant les demi), on obtient:

, et en prenant y=0

Et comme j'ai dit que ma fonction était gentille (ici à dérivée continue), on obtient en passant à la limite que D'où une fonction linéaire .

Maintenant, reste à s'affranchir de la dérivabilité.

[invitea250c65c]

Ahh pardon petit oublié, on veut donc on a et non pas on a donc bien y=(2n-1)x. Excusez moi pour l'erreur de frappe.
Enfin la je vous ai expliqué comment l'idée m'est venu, sinon on peut directement dire qu'on prend y=(2n-1)x mais on ne comprends pas trop pourquoi ca plutot qu'autre chose.
Sinon j'ai trouvé une autre méthode de résolution assez sympa et plutot courte dans le cours qu'anonymus a proposé, page 26, correction de l'exo 3. http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf


(Grillé x2 )

[FonKy-]

c'est pas idiot ca non plus , tres bonne idée

FonKy-

[invitec053041c]

Il faut toujours s'armer des meilleurs attributs quand on tâtonne, après on voit ce qu'on peut faire...!

[invitec053041c]

Il faut toujours s'armer des meilleurs attributs quand on tâtonne,

Oula, ce que je peux sortir comme ça moi , à ne pas sortir du contexte !

[Médiat]

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Facile de démontrer que (donc constant)
En posant , on remarque que , on peut alors montrer que , en particulier avec : , autrement dit ... la suite devrait aller facilement (si f est continue)

[invitec053041c]

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Oui, c'est une bonne idée de se ramener à une fonction linéaire .

[FonKy-]

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De médiat:


transsssss

[FonKy-]

si f est continue

Manquerait plus qu'elle soit pas continue

facile de démontrer que

tout est plus facile avec vous
FonKy-

[Médiat]

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faute de recopie, il fallait lire :

[FonKy-]

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En continuant media on en deduit f(x+y)=f(x)+f(y), suffit alors de montrer que f(2x)=2f(x) si ce n'est deja fait et f est lineaire

[Médiat]

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Désolé c'est ma faute de recopie qui t'as amené sur une mauvaise piste, mais on peut démontrer que g est linéaire...

[invitec053041c]

C'est quoi ces messes basses ?

[invite05d0a348]

Y faut quel niveau pour les equations fonctionelles?

[invitefc60305c]

Euh... 1er S ?

[invite05d0a348]

Ah bah je passe en term S donc je vais m'y mettre à la rentré ...
Ca à l'air interessant

[invitec053041c]

Mais ne panique pas ce n'est pas au programme.

[FonKy-]

Ben, comme je le disai plus haut je crois, ya pas un niveau minimum pour savoir resoudre ce genre de probleme, hormis celle que nous a sorti Lapluie je pense =)
, il suffit juste de savoir ce qu'est une fonction est d'avoir un peu de jugeotte. D'ailleurs il me semble qu'auncun de mes profs n'y a consacré un chapitre .. ce qui est logique vu que ya rien a dire de général encore une fois.

Cordialement, FonKy-

[invitea250c65c]

Bonjour,

J’ai retrouvé une équation fonctionnelle que j’avais trouvée sur internet, mais je n’ai pas gardé la correction. Voici l’équation et comment j’ai fait :

On cherche toutes les fonctions et de dans telles que et on doit avoir f croissante.

Voici ce que j’ai fait :


Durant tout l’exercice, x et y sont deux réels.
On pose y=x, il vient :

Donc f(0)<0 (plus petit ou égal) et alors ou

g est donc une fonction constante.

On pose , on a alors ou
Donc et donc l’équation de l’énoncé devient ()
Remplaçons y par –y, on a alors
Nous voulons exprimer f(-y) en fonction de f(y) : nous obtenons cela en reprenant l’équation et en prenant x=0, il vient alors (car )
Donc
Donc trouver f revient à résoudre l’équation fonctionnelle
On prend y=x, il vient
On prend y=2x, il vient
On peut donc penser que pour tout , on a :
Cela est vrai pour n=0, car .
On suppose que la propriété est vraie au rang n, on peut montrer que dans ce cas elle est également vraie au rang n+1 : .
On a donc montré par récurrence que pour tout , on avait .
Donc pour tout , , donc , avec et .
Essayons d’étendre cette propriété à l’ensemble : nous avons déjà montré que , donc pour tout , .
Donc pour tout , .
Essayons d’étendre cette relation à l’ensemble : on prend et *, on a alors .
Donc soit (car ) et donc .
On a donc montré que pour tout , on a .
Nous voulons que f soit croissante, ce qui rajoute une condition : le coefficient directeur (a) doit être positif, c'est-à-dire a>0 soit f(1)-f(0)>0 soit f(1)>f(0) (ce qui est logique puisque f est croissante).

Ainsi, les fonctions solutions du problème sont :

ou


avec et des constantes réelles positives ( et est le coefficient directeur et doit être positif pour que la fonction soit croissante)



Voila, il y a peut être moyen de faire plus court au niveau de la détermination de la fonction f, parce que c’est assez long et on s’y perd un peu a la fin, c’est pour ca que pour la présentation finale des résultats j’ai pris des nouvelles notations ( et k) pour ne pas confondre avec ce qui avait été fait.
Donc comme vous le constatez, ce n’est pas tout à fait fini il reste à montrer que la relation concernant f est aussi valable sur avec la méthode que tu m’as donnée Ledescat.

Qu’en pensez vous ?

Merci d’avance.

[invitec053041c]

Non je trouve que tu t'y prends très bien. La méthode de passer par IN,IZ,IQ puis IR est assez classique. Et surtout tu n'oublies pas les connecteurs logiques, donc tout va bien .
Je n'ai pas vérifié si réciproquement les fonctions que tu cites fonctionnent bien, mais je pense que oui .
Cdlt.

[Médiat]

Si après avoir démontré que , tu poses , toutes les démonstrations reviennent à un cas connu, en tout cas elles sont plus faciles à écrire.