bonjour =) ! voilà voilà j'ai un exercice en spé math et je galère un peu..
grosso modo l'exercice c'est sur les sections mais là il faut résoudre un système assez tordu pour moi...
on se propose de montrer qu'il existe un seul point (sur le plan z=68 mais ca m'a pas l'air important) M d'abcisse a et d'ordonnée b telles que :
a<b
a²+b²=4625
ppcm(a;b)=440
il faut résoudre ce système
si quelqu'un peut au moins me mettre sur la voie... ce serait top
merci d'avance !
theguitarist
On pose d=PGCD(a;b), alors il existe (a',b')€Z² tels que a=da' et b=db' avec a' et b' premiers entre eux.
On a alors :
a'<b' puisque d>0
d²(a'²+b'²)=4625
ppcm(da';db')=440
<=>
a'<b'
d²(a'²+b'²)=4625
dppcm(a';b')=d|a'b'|=440
On a donc d²|4625 et d|440
Or les diviseurs positifs de 4625 sont : 1, 5, 25, 37, 125, 185, 925, 4625
Donc d²=25 ou d²=1
<=>d=5 ou d=1
Or (1,5)€D(440)² donc d=5 ou d=1
On suppose d=1
On a alors le système suivant :
a'²+b'²=4625
|a'b'|=440
<=>
a'²+b'²+2|a'b'|=4625+2*440
|a'b'|=440
<=>
(|a'|+|b'|)²=5505, ce qui est exclu
|a'b'|=440
On suppose d=5
On a alors le système suivant :
a'²+b'²=185
|a'b'|=88
<=>
a'²+b'²+2|a'b'|=185+2*88
a'²+b'²-2|a'b'|=185-2*88
<=>
(|a'|+|b'|)²=361
(|a'|-|b'|)²=9
<=>
|a'|+|b'|=19
|a'|-|b'|=3 ou |a'|-|b'|=-3
<=>
|a'|+|b'|=19
2|a'|=22 ou 2|a'|=16
<=>
|a'|+|b'|=19
|a'|=11 ou |a'|=8
<=>
(|a'|=11 et |b'|=8) ou (|a'|=8 et |b'|=11)
Or a'<b' donc (a'=-11 et b'=8) ou (a'=-11 et b'=-8) ou (a'=8 et b'=11) ou (a'=-8 et b'=11)
Par conséquent l'ensemble des solutions est {(-55;-40);(-55;40);(40;55);(-40;55)}
Dans IN², le seul couple solution est bien entendu (40;55) mais il fallait préciser ou faire la résolution
Un classique en arithmétique de lycée est d'écrire les choses, cela débloque souvent les situations. On ne te demande pas beaucoup de réflexions. Tout est logique et le raisonnement se suit assez facilement par implication et équivalence.
Il faut juste penser à poser d=PGCD(a;b)
je te remercie =D oui je n'avais pas pensé à poser d=PGCD(a,b)
mais comment on en vient à penser logiquement qu'il faut l'utiliser ? lol
je n'y aurais jamais pensé...
Je ne peux pas trop te donner d'explication sur le cheminement de ma pensée. Néanmoins tu as du voir des propriétés sur le PPCM, nottament que si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a,b)=ab et aussi PPCM(da,db)=dPPCM(a,b). Avec un peu d'intuition mathématique, on se ramène vite au PGCD
je vois... ^^ j'ai plus qu'à travailler mon intuition dans ce cas !
merci beaucoup en tout cas ! bonne soirée !
La primitive de
est
excusez moi je me suis trompé de discussion.
pour completer "un peu" hhh, je dirais que outre "l'intuition" très souvent on associe les ppcm et les pgcd, parce que :Envoyé par theguitarist
-les pgcd sont plus faciles à trouver.
-qu'on a la fameuse formule ppcm(a,b)=!ab!/pgcd très utile.
( un peu comme un triangle rectangle ou on n'utiliserait pas pythagore )
Oui effectivement tu as raison
