Devoir maison

[invite7412a690]

Bonjour, je suis en seconde et j'ai un devoir maison en maths à faire et j'aimerais avoir des avis sur un exercice que j'ai essayé de résoudre mais je ne comprends pas vraiment comment faire:
Intitulé: Demi-cercle de diamètre [AB]
Soit M appartient à [AB]
on trace les 1/2 cercles de diamètres [AM] et [BM]
Où placer M pour que l'aire hachurée soit maximale?
(la partie hachurée c'est tout sauf les 1/2 cercles [AM] et [BM])
Merci d'avance
Ps: je ne vous demande pas la réponse mais une marche à suivre
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[lotto]

Bonjour,
voir içi
Aire minimum de deux demi-disques.

[invite7412a690]

merci beaucoup ça m'aide à y voir plus clair

[invite7412a690]

Mais je n'arrive pas à résoudre cette équation: π (2x2 - 2x + 1)/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec540ebb9]

Sait tu comment on trouve l'équation en question π (2x2 - 2x + 1)/2?? Si non, c'est une somme de 2 aires de type Pi*r² ou r est le rayon et vaut une fois x et l'autre fois (1-x) ... ensuite on cherche un minimum donc faut deriver et regarde pour quelle valeur de x on trouve 0 pour la dérivée.

[invite7412a690]

mais moi je suis qu'en seconde et j'ai pas encore fait les dérivés

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Soit je me trompe, soit tu as pris le tout premier exo dans le lien fourni par lotto, sans lire plus loin, et cela ne correspond pas du tout à ce que tu veux faire. En conséquence, l'équation que tu cherches à maximiser (π (2x2 - 2x + 1)/2) n'est pas la bonne.

Ton exercice correspond au troisième exo Aire de l'arbelos du lien que t'a donné lotto.

La marche à suivre est simple: l'aire hachurée, d'après ton énoncé, est l'aire du demi-cercle de diamètre [AB] à laquelle sont soustraites les aires des deux demis cercles de rayon [AM] et [BM].

Questions:
Posons x=AM.
Que valent les aires de chacun des demi cercles de diamètres respectifs AB, AM et BM? Les exprimer en fonction de AB et de x.
Que vaut alors l'aire hachurée?

Ecrire cette aire sous forme canonique.

Fais déjà cela et ce sera un grand bond en avant.

Bon courage!

[invite7412a690]

S(x)= 180- ( x²/4 *)/2
= 180 - (x²**2)/4
= 180- (x²*) / 2

donc la fonction S(x) s'écrit:
S(x) = x²*/2 -180

Soit S définit sur [0;R]
Je démontre que s admet en 0 un maximum qui vaut 180
S(180)=50714
Soit x [0;R]
0 180
0*0 x*x 180*180
x² 32400
x² 50894 * 2/
x²*/2 50894
x²*/2 - 180 50714

donc S(x) 50714 cqfd
donc S admet en 0 un maximum qui vaut 180.
Conclusion: Pour que l'aire hachurée soit maximale il faut que M soit placé à 180°

Voila la j'ai rédigé, tu peux me donner ton avis stp merci davance.

[Plume d'Oeuf]

Euuuhh...

S(x)= 180- ( x²/4 *)/2
= 180 - (x²**2)/4
= 180- (x²*) / 2

Je n'ai pas très bien compris là... D'où sort le 180? Qu'est ce que c'est que ce nombre qui fait son apparition alors qu'il n'était pas dans l'énoncé au départ?

donc la fonction S(x) s'écrit:
S(x) = x²*/2 -180

Non pas vraiment.

Conclusion: Pour que l'aire hachurée soit maximale il faut que M soit placé à 180°

Qu'est ce que ca veut dire: "il faut que M soit placé à 180°"? 180° de quoi?

Je pense que tu t'es un peu emmêlé(e) les pinceaux.

Reprends mon message #7, la méthode est là.

Bon courage!

[invite7412a690]

Je comprend rien je sais que c'est en rapport avec l'arbelos mais après c'est tout. avec :
il suffit d'appeler b et c les diamètres MB et MC, et h la hauteur MH.
Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de pi/8*b^2, pi/8*c^2, pi/8*(b + c)^2. Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos pi/4*(b+c)^2. La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C. (CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC .
Ensuite on fait appelle aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse.
MC^2 = AM × MB = pi/4*MC^2
après je peux meme pas répondre à la question posée

[Plume d'Oeuf]

A nouveau un point C vient d'apparaître alors qu'il n'était pas là dans l'énoncé de départ. Reste avec les points qu'on te donne, et ne cherche pas à aller trop vite.

Répond simplement à mes questions dans l'ordre, fais un schéma, et ca viendra tout seul tu verras.

Ok reprenons.

Soit le demi-disque de diamètre [AB]. Soit le point M appartenant au segment [AB].

Les aires des demis-disques de diamètres [AM], [BM] et [AB] sont respectivement /8*AM², /8*BM² et /8*AB² comme tu viens de le dire.

Par différence, on obtient bien l'aire de l'arbelos (appelons la I).

Posons maintenant AM = x. Peux tu exprimer I en fonction de AB et de x?

[invite7412a690]

pi/8(AB-x)^2

[Plume d'Oeuf]

Non ce n'est pas ca.

Tu viens juste de me donner l'aire du demi disque que rayon BM, alors que je t'ai demandé celle de l'arbelos.

[Plume d'Oeuf]

Bon, au cas ou je ne sois plus là pour répondre plus tard, l'idée est d'exprimer l'aire de l'arbelos en fonction de x et de AB, puis de mettre l'expression obtenue sous forme canonique pour pouvoir la maximiser. De cette façon on ne fait pas intervenir les dérivées, et on peut trouver x tel que l'aire de l'arbelos soit maximale.

[inviteef4f3327]

Bonjour,
j'ai le même devoir maison a rendre pour vendredi au plus tard, cependant après ce que j'ai lu je n'ai fais ni les dérivés ni les canoniques, ni rien du tout ^^' donc y a-t-il moyen avec des cours de seconde de répondre à cette question ???

[Plume d'Oeuf]

Tant que personne n'aura répondu aux questions que j'ai posées, je n'irai pas plus loin, dsl.

[invite7412a690]

au fait Ta a an tu es au lycée frantz Fanon?

Et même si je répondais aux questions de plume d'oeuf je ne sais pas ce que sont les dérivés ni le truc machin canonique là ?

[Plume d'Oeuf]

Justement, je n'ai pas l'intention de vous faire utiliser les dérivées. Je pensais juste vous guider vers la solution pas à pas.

Cependant cette façon de faire ne vous convient visiblement pas. Je passe donc la main à qui voudra s'y coller.

Bonne continuation.

[invite7412a690]

non c'est pas ça mais dans ton msg 14 tu as parlé d'expression canonique non?
Alors je veux bien essayé pas à pas avec toi et tes conseils mais sans les expressions canoniques si c'est possible.

[invite7412a690]

non c'est pas ça mais dans ton msg 14 tu parles d'expression canonique non?
Et bien, moi je n'ai jamais demandé qu'on me donne la réponse servie sur un plateau d'argent moi ce que je veux c'est comprendre. Et je veux y aller pas à pas comme tu as dit et j'aimerais bénéficier de ton enseignement mais sans les expressions canoniques ni les dérivés si c'est possible

[Plume d'Oeuf]

Si vous ne voulez pas vous perdre dans des discussions sur la valeur de l'aire de l'arbelos en fonction de la position du point M, il faut passer soit par les dérivées, soit par une forme canonique.

La dérivée n'étant abordée qu'en première, il ne reste plus que la forme canonique qui soit utilisable. Cependant il ne faut pas être effrayé(e) par cette appellation barbare: c'est juste le nom de l'expression (a+b)², qui est une identité remarquable que vous devez connaître en seconde si mes souvenirs sont bons.

Alors à moins que cela ne soit vraiment hors programme, auquel cas je n'ai pas de solution simple à vous offrir, vous devriez simplement répondre à mes questions. Reprenez mon message #7 en oubliant la consigne sur la forme canonique ; nous irons à travers cette partie là ensemble.

Bon courage.

[invite7412a690]

alors j'aurais répondu ça pour les questions du msg 7:
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AB] = 1/2 pi r²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AM] = 1/2 pi x²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [MB] = 1/2 pi (r - x)²

x variant de 0 à r.

A(x) = 1/2 pi r² - 1/2 pi x² - 1/2 pi (r - x)²

[invite7412a690]

si je simplifie ça fait peut être:
A(x)= 1/2 pi (2*r²- 2*x²)

[Plume d'Oeuf]

Ce n'est pas faux mais x dans ce cas x n'est plus la distance AM mais la distance AM/2, et r est la distance AB/2, ce qui nécessite quelques justifications sur la symétrie du problème.

Essaye d'être plus général(e) et de garder x comme étant la distance AM. Réexprime les aires en fonction de la distance AB et de x, avec x variant de 0 à AB (tu obtiendras sensiblement la même chose, à une constante près).

[invite7412a690]

Peut-être:
comme j'avais dit la première fois:
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AB] = pi/8 r²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AM] = pi/8 x²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [MB] = pi/8 (r - x)²

x variant de 0 à r.

A(x) = pi/8 r² - pi/8 x² - pi/8 (r - x)²
A(x) = pi/8*(2r² - 2x²)

[Plume d'Oeuf]

Peut-être:
comme j'avais dit la première fois:
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AB] = pi/8 r²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [AM] = pi/8 x²
Aire du 1/2 cercle de diamètre [MB] = pi/8 (r - x)²

x variant de 0 à r.

Correct, mais qu'est ce que r dans ce cas?

A(x) = pi/8*(2r² - 2x²)

Là par contre il y a quelque chose qui ne va pas, ton calcul est faux.

[invite7412a690]

r c'est AB

A(x) = pi/8*r² - pi/8*x² - pi/8*(r-x)²
= pi/8*(r²- x² - (r-x)² )
= pi/8 ( r²-x² +r² - x² )
= pi/8 * (2r² - 2x²)

[Plume d'Oeuf]

Ok pour r.

A(x) = pi/8*r² - pi/8*x² - pi/8*(r-x)²
= pi/8*(r²- x² - (r-x)² )
= pi/8 ( r²-x² +r² - x² )

Il y a un petit problème dans le passage de la ligne 2 à la ligne 3. (r-x)² c'est une identité remarquable... De plus n'oublie pas qu'il y a un signe "-" devant la parenthèse.

[invite7412a690]

A(x) = pi/8(r²- x² -(r-x) ²
= pi/8 (r² - x² - ( r² - 2rx + x²) )
= pi/8 (r² - x² - r² + 2rx - x² )
= pi/8 ( 2rx - 2x²)
= pi/8 ( 2x ( r - x ) )
peut être que là c'est un peu mieux

[Plume d'Oeuf]

C'est même beaucoup mieux.

On s'attaque maintenant à la partie "mise sous forme canonique".

Prenons la forme A(x) = /4(rx-x²).

Remarquons que:
A(x) = /4(rx-x²) = -/4(x²-rx) = -/4(x²-2(r/2)x)

On voudrait arriver à écrire (x²-rx) sous la forme (x²-(r/2)²) - k, où k est une constante réelle. Cette seconde forme est appelée forme canonique.

Que vaut k?