dérivation et continuité

[inviteb900ac8a]

Coucou!!
J'arrive pas a faire une exo j'espère que quelqu'un pourrait m'aider...

Soit la fonction définie sur [0;1] par f(x) = √(x-x2). On note © la courbe répresentative de f dans un repère orthonormé (0; i,j)

1.Montrer que f est dérivable sur ]0;1[ et calculer f'(x).
2.Etudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.
3.Déterminer lim (h→0) (f(h)-f(0))/(h-0). F est-elle dérivable en 0? Donner l'équation de la tangente à © au point d'abscisse 0.
4.Montrer que pour tout h de ]-1;0[ : (f(1+h)-f(1)/h=-(1+h) √(-1-1/h). f est-elle dérivable en 1? Donner l'équation de la tangente à © au point d'abscisse 1.
5.Tracer la courbe © ainsi que ses tangentes remarquables.

J'ai trouvé pour le 1 que f'(x)=(-4x2+3x)/(2√x-x2).
Pour le 2: j'ai trouvé que f est strictement croissante sur [0;1].
Pour le 3 j'ai trouvé que lim (h→0) (f(h)-f(0))/(h-0)=lim(h→0) (√h-h2)=0.
Alors, f est donc dérivable en 0 et f'(0)=0. La courbe représentative de f admet à l'origine une tangente horizontale.

Alors, pour le 4 et 5, j'arrive pas les résoudre... Si vous pouvez me dire si ce que j'ai fait jusqu'à là c'est bien et pour le 4 et 5....

Merci beaucoup!!!
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[pallas]

revois la formule de la derivée de racine ( u) à savoir (u')/(2racine (u)
donc la dervée que tu trouves est fausse!

[inviteec33ac08]

Pour y voir plus clairement tu dis que f(x) = √(x-x²)=(x-x²)^(1/2)
sa dérivée est donc f'(x)=(1/2)(2x-1)*(x-x²)^(-1/2)
on reconnait la formule u^n=n*u'*u^(n-1)
Et n'oublie pas le domaine de définition de la dérivée =)

[inviteb900ac8a]

je suis désolée, en fait la fonction est:

f(x) = x√(x-x2), pas f(x) = √(x-x2)..

merci!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Salut,

Par composition, la fontion est dérivable sur ]0,1[. Et sa dérivée vaut bien



Clairement, elle change de signe en x = 3/4. La fonction f est croissante sur [0,3/4] et décroissante sur [3/4,1] .

Ensuite, la réponse à la question 3, c'est OK.

Pour la 4, il suffit d'écrire que



car il faut se rappeler que , et donc que lorsque h est négatif.
Il est alors facile de voir que f n'est pas dérivable en 1, puisque la limite étudiée vaut + infini lorsque h tend vers .... Et la question 5, bah c'est un graphique, on peut pas le faire à ta place !!!

[inviteb900ac8a]

merci beaucoup xav 75 !! juste parce que je ne savais pas ce truc avec racine de h.

par contre j'ai beaucoup de mal pour la suite de la question 4 ... n'y aurait-il pas de tangente en 1 ?? car quand on calcule avec la formule
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) c'est égal à 0 ??

merci beaucoup encore ...

[invitec1ddcf27]

La formule que tu donnes pour la tangente est valable lorsque la fonction est dérivable au point x_0. Ce n'est pas le cas en x_0=1 puisque



par le calcul précédent.

[invitec1ddcf27]

Pardon, c'était



Et graphiquement, cela signifie que tu as une tangente verticale d'équation x=1.