Problème

[invitea48e8921]

On donne les points a(-2,-2,2) et b(-3,-4,0) et la droite D =
x=-2-2k
y=-2+k
z=1
Donnez les coordonnées du (des) point(s) p de la droite D tel(s) que les droites pa et pb soient orthogonales.
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[invite029139fa]

Bonjour ?
Merci ?
...
Bref
As-tu fait des recherches ?

Dis-nous en plus et nous pourrons peut-être t'aider.
Cordialement.

[inviteb9469e86]

Tu n'as qu'à utiliser le produit scalaire :
Tu connais la forme des coordonnées de P, les coordonnées de A et celles de B, avec cela tu vas obtenir une équation qui te permettr&s de trouver la(es) valeur(s) du paramètre t donc le(s) point(s) P correspondant.

[invitea48e8921]

Oui me je n'y arrive toujours pas...
Voila comment je procède:
J'ai mon point p(px,py,1) mon point a(-2,-2,2) et mon point b(-3,-4,0).
Ensuite je trouves à partir de cela 2 vecteurs: pa(px+2,py+2,-1) et pb(px+3,py+4,1).
Je sais que leur scalaire et nul donc j'ai:
(px+2)(px+3)+(py+2)(py+4)+1.-1=
px²+5px+6+py²+6py+8-1=
px²+5px+py²+6py+13

et là je bloque...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea48e8921]

px²+5px+py²+6py+13=0 bien sûre...
Mais après?

[inviteb9469e86]

A (-2,-2,2) et B(-3,-4,0) et
P appartient à la droite D donc il existe un réel k tel que
x_P = - 2 - 2 k
y_P = - 2 + k
z_P = 1

a pour coordonnées (x_A - x_P ; y_A - y_P ; z_A - z_P) soit (2 k ; - k ; 1)

a pour coordonnées (x_B - x_P ; y_B - y_P ; z_B - z_P) soit (- 1 + 2 k ; - 2 - k ; - 1)
donc en utilisant que = x x' + y y' + z z' alors
= 2 k (- 1 + 2 k) - k (- 2 - k) - 1 = 5 k² - 1
Les droites (PA) et (PB) sont orthogonales si et seulement si = 0
soit si et seulement si 5 k² - 1 = 0
tu cherches les solutions tu vas trouver et
donc tu trouves 2 points P possibles en remplaçant k successivement par les valeurs trouvées dans
x_P = - 2 - 2 k
y_P = - 2 + k
z_P = 1 et tu obtiens les coordonnées du point P