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Analyse combinatoire



  1. #1
    Snowy

    Analyse combinatoire

    Bonjour,

    J'aurais besoin de votre aide pour un problème d'analyse combinatoire que je n'arrive pas à résoudre : "de combien de façons différentes 10 cyclistes peuvent-ils louer un vélo chez 4 marchands différents ?"

    J'ai la solution (286), mais je ne vois pas comment y arriver. J'aurais pensé à faire 4^10, à diviser ensuite par "quelques chose" étant donné que l'ordre dans lequel chacun des cyclistes loue son vélo n'a pas d'importance...

    Merci de votre aide !

    -----


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  3. #2
    danyvio

    Re : Analyse combinatoire

    Peut-on reposer le problème ainsi : de combien de façons différentes peut-on obtenir exactement 10 en ajoutant 4 nombres entiers compris entre 0 et 10 inclus?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    Snowy

    Re : Analyse combinatoire

    Je ne suis pas sure qu'il s'agisse exactement de la même idée.

    Ce que je veux dire ici, c'est qu'il y a 4 marchands différents, apelons-les A, B, C et D et chaque cycliste peut aller chez l'un d'entre eux. Donc, lorsque chaque cycliste a loué son vélo, on peut résumer ça par :
    ABCDABCDAA, ou
    BDCABBADBA, ou
    CDDDABCDAA,...

    Ce qui me pose problème, c'est que je n'arrive pas à voir quelle formule utiliser : il ne s'agit pas d'une combinaison car il y a répétition des éléments, ni d'un arrangement car ici l'ordre dans lequel sont pris les éléments n'a pas d'importance.

  5. #4
    Cherchell

    Re : Analyse combinatoire

    Si je comprends bien, le premier cycliste a le choix entre 4 marchands et le deuxième également ainsi de suite donc tu as 410 possibilités

  6. #5
    Snowy

    Re : Analyse combinatoire

    Oui, c'est à ça que j'avais pensé aussi à première vue. Mais si on choisit cette réponse, on considère que l'option "le cycliste 1 va chez le marchand A et le cycliste 2 chez le marchand B" est différente de "le cycliste 1 va chez le marchand B et le cycliste 2 chez le marchand A".

    Or vu que la réponse qui est donnée au problème est 286, je pense que ces 2 propositions sont considérées comme une seule, et que la seule chose qui compte au final, c'est le nombre de vélos qu'a loué chacun des marchands, peu importe à quels cyclistes il les a loués.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    danyvio

    Re : Analyse combinatoire

    Citation Envoyé par Cherchell Voir le message
    Si je comprends bien, le premier cycliste a le choix entre 4 marchands et le deuxième également ainsi de suite donc tu as 410 possibilités
    Attention à la contrainte forte, que j'ai déjà indiquée dans mon post précédent : le total des vélos est exactement 10. Ce qui restreint le nombre de combinaisons
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  10. #7
    Snowy

    Re : Analyse combinatoire

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Peut-on reposer le problème ainsi : de combien de façons différentes peut-on obtenir exactement 10 en ajoutant 4 nombres entiers compris entre 0 et 10 inclus?
    Après avoir encore relu ta réponse, je l'ai bien comprise et je suis maintenant d'accord : ta phrase résume parfaitement la clé du problème. Mais je n'arrive toujours pas à "écrire" cette condition en termes de probabilités... Un indice ? Merci !

  11. #8
    danyvio

    Re : Analyse combinatoire

    C'est un vrai casse-tête énervant ce problème. Pour faire avancer le shmilblick, j'ai approché ainsi, sans tenir compte de la combinatoire, ce qui fait que je ne distingue pas, par exemple : 1,2,3,4 de 1,3,4,2 etc.

    Pour répartie 10 "entre" un nombre non nul, les 3 autres étant à zéro, il y 1 solution: 0,0,0,10

    Pour répartir 10 entre 2 nombres non nuls, il y 5 solutions : 1,9; 2,8; 3,7; 4,6; 5,5

    our répartir 10 entre 3 nombres non nuls, il y a 8 solutions : 1,1,8; 1,2,7; 1,3,6; 1,4,5; 2,2,6; 2,3,5; 2,4,4; 3,3,4

    Enfin, pour répartir entre 4 nombres non nuls, je vois 9 solutions : 1,1,1,7; 1,1,2,6; 1,1,3,5;1,1,4,4; 1,2,2,5; 1,2,3,4; 1,3,3,3; 2,2,2,4; 2,2,3,3
    Je ne vois pas la "loi" qui régit cette progression, et je n'ai pas étudié la combinatoire qui permettrait d'arriver au résultat cherché. Espérant avoir été utile tout de même
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  12. #9
    Médiat

    Re : Analyse combinatoire

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Je ne vois pas la "loi" qui régit cette progression, et je n'ai pas étudié la combinatoire qui permettrait d'arriver au résultat cherché.
    Votre liste de solutions est correcte, et en ajoutant la combinatoire des 4 magasins différents on arrive bien à 286.

    Pour compter les différentes façon de sommer k nombres entiers non nuls dont le total est n, il existe une relation de récurrence (c'est un problème classique appelé "partition d'un nombre entier") :
    p(n, k) = p(n-1, k-1) + p(n-k, k).

    Le cas de cet exercice est p(10, 1) + p(10, 2) + p(10, 3) + p(10, 4).

    Malheureusement ceci ne permet que de compter les motifs, il faut ensuite prendre en compte la combinatoire ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    danyvio

    Re : Analyse combinatoire

    Merci Mediat pour l'info
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  14. #11
    Snowy

    Re : Analyse combinatoire

    Merci beaucoup à vous deux pour ces précisions, j'ai bien mieux compris à présent !

  15. #12
    Médiat

    Re : Analyse combinatoire

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    C'est un vrai casse-tête énervant
    Il y a beaucoup plus simple :
    Pour symboliser les boutiques prenons des X et pour symboliser les cyclistes des O, alors une distribution peut se représenter par une chaîne de 4 X et de 10 O commençant par X, par exemple : X000XX000000X0 qui veut dire 3 cycliste dans la première boutique, 0 dans la deuxième, 6 dans la 3ième et 1 dans la quatrième.
    Pour compter c'est très simple :
    Nombre de façon d'ordonner 13 (on ne prend pas en compte le premier X qui est fixe)éléments : 13!, mais comme les 10 O sont indiscernables, il faut diviser par 10! et comme les 3 X qui bougent sont indiscernables, il faut diviser par 3!, donc :



    ce qui se généralise facilement au cas de n cyclistes pour k boutiques.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    Snowy

    Re : Analyse combinatoire

    C'est en effet beaucoup plus rapide ! Merci pour cette astuce !

  18. #14
    danyvio

    Re : Analyse combinatoire

    Bravo Mediat ! C'est sioux !!!
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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