Relation : Coefficients binomiaux

[invitefe34e79f]

Bonjour,

L'année prochaine je rentre en MPSI, et j'ai reçu une feuille d'exercice à faire pendant les vacances (non obligatoire, mais j'ai du temps !)

Je suis arrivé à l'exercice suivant :
Démontrer les relations :


Ce qui est assez facile à faire (ce n'est que du calcul, mais peut-être y-a-t-il une autre solution ?)

Mais, en regardant de plus près, je me suis demandé si il n'y avait pas possibilités de généraliser tous ça...

En effet, je me demande si :



avec

Qu'en pensez vous ?
La formule semble-t-elle juste ? Si oui, auriez vous une idée de comment la démontrer ?

Merci.
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[invitec8b46424]

Mais les coefficients change selon k.
Enfin j'comprends pas ce que tu as fait parce que les coefficients ne sont toujours les mêmes.
Pour k=4 on a 1 4 6 4 1 et non 1 4 4 4 1

Tu m'as compris ou c'est moi qui est perdu??

[invitefe34e79f]

Effectivement, j'ai voulu aller trop vite... (je commence a rouiller, c'est pas bon du tout !)

La bonne relation serait donc :



Une idée pour la démonstration ?

[invitec8b46424]

J'ai commencé le début mais je peux pas le terminé,c'est extrêmement long....
J'ai fais (n;p)=(n-k)!(n-k+1)(n-k+2)....(n) / p!(n-p)!

après ça se corse.....mdr

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

je l'avais à démonter en DM et je peux te dire qu'elle n'est pas si dure mais pas si simple. Il faut faire de bon changement d'indices de sommation il me semble.
Bonne chance
(je crois qu'il faut décomposer l'une des deux en deux morceaux comme dans ta première solution à monter)

RoBeRTo

[invitebe08d051]

La bonne relation serait donc :



Une idée pour la démonstration ?

C'est moi peut-être qui dit n'importe quoi, mais le terme à droite semble dépendre de mais pas celui à gauche.