Determiner a et b tels que ...

[invitef2c0dc61]

Bonjour a tous

Je suis actuellement sur un exercice où on me demande de déterminer deux nombres a et b tels que pour tout x de [0; pi/3] :
1/cosx = (acosx)/(1-sinx) + (bcosx)/(1+sinx)
et j'en suis arrivée à cette étape
a(1+sinx) + b(1-sinx) = 1 mais là je bloque sauriez vous m'indiquer pour quelles valeurs de a et b a(1+sinx) + b(1-sinx) = 1 ?

Merci pour votre aide
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[morph]

a = 1/2 et b = 1/2 fonctionnent non ?

[invitef2c0dc61]

Oui tu as raison ! Merci

Comment as tu fait ? Par intuition ?

Bonne soirée

[morph]

Oui. De toute façon, quand tu cherches des valeurs particulières comme dans ce genre de problème, il faut toujours essayer des valeurs simples : 0, 1, -1, 1/2, -1/2 etc ...

Et puis là tu vois que si tu mets les même valeurs pour a et b, les sinus vont s'annuler (ce qui t'arranges car tu cherches à obtenir une constante). Et après faut ajuster pour tomber sur ce qu'on cherche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2c0dc61]

D'accord merci beaucoup!

et utiliser les valeurs simples est le seul moyen, on ne peut pas le démontrer par le calcul ?!

Merci encore

[invitec8b46424]

Salut,
Tu peux supposer que a=b
alors a(1+sinx) + b(1-sinx) = 1
a(1+sinx + 1 -sinx)=1
2a=1 donc a=1/2

Mais c'est pas une démonstration très convaincante

[Cherchell]

Si on le peut ! puisque ton égalité est vraie pour tout x de [0 ; Pi/3] tu n'as qu'à choisir x = 0 puis x = Pi/6
tu remplaces dans l'égalité : a(1+sinx) + b(1-sinx) = 1
pour x = 0 alors a + b = 1
pour x = Pi/6 alors a (1+1/2) + b (1 - 1/2) = 1 donc 3 a + b = 2
avec ce système tu trouves a et b

[invitec8b46424]

Bien joué Cherchell

[invitef2c0dc61]

Bonne idée!

Merci à vous
J'ai pu avancer plus dans l'exercice mais je suis de nouveau bloquée :S

On me demande d'en déduire une primitive de 1/cosx sur [0; pi/3]
Il faut donc que je me serve de la question 1 et que je calcule la primitive de ((0.5cosx)/ (1-sinx)) + ((0.5cosx)/(1+sinx)) mais oulala

[morph]

Petit indice :

si tu as une fonction u qui ne s'annule pas sur un intervalle, une primitive de u'/u est ln|u|

[invitef2c0dc61]

Merci
je vais essayer de me servir de ce petit indice

[invitef2c0dc61]

Ah je crois avoir compris ! Merci

[invitef2c0dc61]

J'ai reussi Merci beaucoup "Morph" , comment as-tu fait pour tout de suite penser à ln(u(x)) ?!

bonne soirée

[morph]

C'est juste que les formes u'/u sont connues justement pour avoir une primitive simple à exprimer : ln(|u|).

Une fois que tu connais ça, à force d'en faire, c'est comme tout, ça devient un réflexe.

[invitef2c0dc61]

en tout cas bien joué

bonne soirée et à bientot peut etre ^^