Trouver a,b,c entiers tels que a^3+b^3=22 c^3...

invitea12667f3 · 07/07/2006, 14h15

Bien l'Bonjour a tous!eh bien voilà,je ne trouve aucune piste en ce qui concerne la résolution de cette équation..
trouver $\text{[math]}$ entiers tels que:
$\text{[math]}$
Tout ce que j'ai vu c'est que $\text{[math]}$ est un diviseur de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ainsi $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$

je suis un peu acoté dla plaque et ne sais comment prendre le probleme correctement!

merci enormement a ceux ou celles ki pourront éclairer ma lanterne!!^^

inviteae2cac00 · 07/07/2006, 14h22

tu n'as qu'une seule équation? c'est bizarre il faut n équations pour n inconnus, non...?

invite6b1e2c2e · 07/07/2006, 14h34

Bonjour

Pour commencer, j'essaierai de normaliser l'équation. Evidemment, tu peux commencer par supposer que pgcd(a,b,c) =1. Mais tu peux faire un peu mieux et même supposer que pgcd(a,b) =1. En effet, sinon, tu peux trouver un p premier qui divise a et b, et dans ce cas, p^3 divise 22 c^3 ce qui implique que p divise c car 22 est sans facteur cubique.

Je réfléchis à la suite, mais je n'ai pas trop d'idées.

__
rvz

invite7d436771 · 07/07/2006, 14h43

Envoyé par ptite_puce

tu n'as qu'une seule équation? c'est bizarre il faut n équations pour n inconnus, non...?

Bonjour,

pas forcément ptite_puce !
Ca depend de la quesiotn posée. Vu l'age de keke76, il n'a pas encore eu le bac et par exemple en spé maths en terminale S on demande de résoudre x²+y²=1. Il s'aégit alors de déterminer tous les couples d'entiers vérifiants cela.

Tu peux aussi rechercher "équations diophantiennes" dans un moteur de recherche ... et voir par exemple http://perso.orange.fr/yoda.guillaum...E/EquaDiop.htm

Cordialement,

Nox

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7d436771 · 07/07/2006, 14h47

Rebonjour,

je n'y connais rien en arithmétique mais bon je me posais la question si on pouvaut traiter ce problème en supposant c=0 puis c non nul et en divisant par c^3 dnas le deuxième cas..mais le problème n'est alors plus de la recherche d'entiers mais de rationnels non ? ca doit etre pour ca que ca ne doit pas marcher (comme toutes mes idées foireuses en arith...)

Cordialement,

Nox

invitea12667f3 · 07/07/2006, 18h23

on va yarriver a le faire avancer le schmilblick!!lol
eh non ptite puce!c comme si je te demandais de trouver des entiers x,y,z tels que x²+y²=z² ce qui est tout a fait faisable sans systemes

merci rvz!!je vais tenter de suivre ta piste

pour ce qui est de Nox,je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire?supposer que c=0 signifierait que a=-b un peu simple.. .c sur Z* en plus dc no way..

ms jprends toutes les propositions!merci a toi aussi

invite6b1e2c2e · 07/07/2006, 18h30

Par contre, si tu divises par c, il peut arriver des choses intéressantes.
Dans le cas des triplets pyhtagoriciens, en général, on se ramène à x,y premiers entre eux, et on divise par z. En gardant x et y pour x/z et y/z, on obtient alors
x^2+y^2 = 1, x et y dans Q. On fait une paramètrisation rationnelle du cercle unité, ie x = 2t/(1+t^2), y = (t^2-1)/(t^2+1). Alors il est facile de voir que x et y sont rationnels ssi t est rationnel. De plus, 2t et t^2-1 sont premiers entre eux, et on obtient ainsi les triplets (2t, t^2-1,t^2+1) pour t entier.

Je sais pas trop ce que j'ai fait, mais j'ai l'impression de tout mêler dans un truc informe. Quelqu'un pour éclaircir mon raisonnement ?

__
rvz

invitea12667f3 · 07/07/2006, 19h22

si on a x^n+y^n=z^n alors il faut trouver x et y entiers tels que (x^n+y^n)^(1/n)=z.
mais il ya une autre maniere de solutionner des triplets c'est assez fastidieux!
une petite pierre a l'edifice:
*si 2n et 2n+1 sont premiers entre eux alors x^n+y^n=z^n implique que soit x,y ou z est divisible par n
enfin je sais pas si ca a vraiment un rapport...^^
en tout cas (a^3+b^3)/c^3=22 implique que c^3 est pair et a^3+b^3 aussi no?

**azt** · 07/07/2006, 19h34

Envoyé par keke76

en tout cas (a^3+b^3)/c^3=22 implique que c^3 est pair et a^3+b^3 aussi no?

a^3+b^3 est forcément pair, on est d'accord,

D'ailleurs si a et b sont pairs tous les deux, a^3+b^3 devient multiple de 8 et si c est pair, c^3 serait aussi multiple de 8, on ne peut pas arriver sur 22 qui se décompose en 2*11.
Donc a et b sont tous les deux impairs

Par contre sur c on ne sait pas grand chose à première vue...

invite6b1e2c2e · 07/07/2006, 19h36

Envoyé par keke76

si on a x^n+y^n=z^n alors il faut trouver x et y entiers tels que (x^n+y^n)^(1/n)=z.
mais il ya une autre maniere de solutionner des triplets c'est assez fastidieux!
une petite pierre a l'edifice:
*si 2n et 2n+1 sont premiers entre eux alors x^n+y^n=z^n implique que soit x,y ou z est divisible par n

2n et 2n+1 sont toujours premiers entre eux !

Maintenant, si on passe modulo 2, il est facile de voir que forcément 2 divise a+b (sinon il diviserait a^2+b^2 -ab et comme a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux, on obtient une contradiction), ce qui veut dire que a et b sont tous les deux impairs.

__
rvz

invite4ef352d8 · 07/07/2006, 21h48

et bien deja je dirais que c'est pas dit du tous qu'il y une solution ! (ca ressemble quand meme pas mal au Th de fermat-Wiles sa... certe il y a le 22 qui change beaucoup de chose mais quand meme)
mais meme si il y a une sollution c'est tres peu probable qu'on puisse la trouver comme juste par des condition arithmetique.

a mon avi la mieux ici c'est de commencer une recherche informatique... et si on ne trouve rien essayer de prouver qu'il ni a pas de solution, mais as risque d'etre compliqué sa !

invite8ef93ceb · 08/07/2006, 01h14

Envoyé par keke76

Bien l'Bonjour a tous!eh bien voilà,je ne trouve aucune piste en ce qui concerne la résolution de cette équation..
trouver $\text{[math]}$ entiers tels que:
$\text{[math]}$
Tout ce que j'ai vu c'est que $\text{[math]}$ est un diviseur de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ainsi $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$

je suis un peu acoté dla plaque et ne sais comment prendre le probleme correctement!

merci enormement a ceux ou celles ki pourront éclairer ma lanterne!!^^

En fait, il y en a beaucoup. Tout les b=-a pour c=0 sont valides.

invite8ef93ceb · 08/07/2006, 01h16

Envoyé par Ksilver

a mon avi la mieux ici c'est de commencer une recherche informatique... et si on ne trouve rien essayer de prouver qu'il ni a pas de solution, mais as risque d'etre compliqué sa !

J'ai essayé plusieurs valeurs (a,b,c de -100à100) et toutes les solutions trouvés sont pour c=0.

invitea12667f3 · 08/07/2006, 09h17

salut a tous!thé,café,gateaux?^^
ouep levesque j'y ai pensé mais...un peu simple no?
et on est sur l'ensemble Z-{0} dc en fait beh..non!

sinon oui rvz!xcuse moi je me suis trompé c'est 2^n-1.oups!

et pour x^2+y^2=1:si on a a²+b²=c² et que l'on divise par c² on a (a/c)²+(b/c)²=1 dc x et y etant rationnels,trouver les triplets pythagoriciens sera possible en trouvant tous les points a coordonnées rationnelles sur le cercle de rayon "1" yep

invitea12667f3 · 08/07/2006, 09h51

mais j'y pense..!si on fait la meme chose ? jveu dire
(a/c)^3+(b/c)^3=22? =x^3+y^3=22 (x,y appartiennent a Q)
y^3=-x^3+22 et...
ou x^3+y^3=z^3(th de fermat-wiles Ksilver?..

)et puis avec z "e"à Q: z^3=22? ms je ne pense pas qu'il existe un rationnel qui vérifie cette équation en fait..je pense que peut etre la géométrie pourrait faire qqch!?

invitea12667f3 · 08/07/2006, 09h51

mais j'y pense..!si on fait la meme chose ? jveu dire
(a/c)^3+(b/c)^3=22? =x^3+y^3=22 (x,y appartiennent a Q)
y^3=-x^3+22 et...
ou x^3+y^3=z^3(th de fermat-wiles Ksilver?..

)et puis avec z "e"à Q: z^3=22? ms je ne pense pas qu'il existe un rationnel qui vérifie cette équation en fait..je pense que peut etre la géométrie pourrait faire qqch!?

invite636fa06b · 08/07/2006, 10h04

Bonjour,
Je ne sais pas si ça avance le bouzin mais on peut montrer que (a+b) est un multiple de 11 et donc aussi de 22

invite4ef352d8 · 08/07/2006, 11h12

non 22^(1/3) est irationel donc on est pas dans le cadre de fermat.

mais sa ressemble beaucoup et le fait qu'il ni est pas de sollution dans le cas du th de fermat, laisse penser qu'il est possible voir probable qu'il ni en ai pas ici !

en fait ce qu'il faudrait faire c'est ce pencher sur la facon dont a été demontré le cas n=3 du th de fermat (pas de celle de Wiles hein

pour le coup va falloir un peu de temps pour la lire ... mais les cas n=3,n=4,n=5 etc... ont ete demontrer independament au cours du temps) et voir si ce type de domonstration est adaptable en rajoutant le 22 ^^... mais je n'ai pas reussit a trouver cette demo sur internet.

**erik** · 08/07/2006, 11h36

a mon avi la mieux ici c'est de commencer une recherche informatique... et si on ne trouve rien essayer de prouver qu'il ni a pas de solution

C'est une bonne idée.

Il y'a au moins une solution : $\text{[math]}$

**erik** · 08/07/2006, 14h18

Et je dirais même plus, cette solution n'est pas unique puisque : $\text{[math]}$

invite636fa06b · 08/07/2006, 14h26

Envoyé par erik

Et je dirais même plus, cette solution n'est pas unique puisque : $\text{[math]}$

En fait, ta deuxième solution est identique à la première à un coefficient 3 près.
A ce rythme tu arrives à un infinité de solutions puisque
(ka,kb,kc) est solution si (a,b,c) l'est pour n'importe quel entier k.
Reste à voir s'il existe d'autres solutions en plus de la tienne et de a+b=0

**erik** · 08/07/2006, 14h52

A oui tiens, j'avais pas fait attention, merci.

Bon le problème de l'unicité de la solution (à un facteur près) reste donc ouvert.

**erik** · 08/07/2006, 15h10

Bon cette fois c'est ok, la solution n'est pas unique :
$\text{[math]}$

invite636fa06b · 08/07/2006, 16h33

Désolé de jouer les rabat-joie mais ça marche pas :
...9 à la puissance 3 finit par 9
...7 à la puissance 3 finit par 3
...3 x 22 finit par 6
et ...9 +...9 ne donne pas 6 !

**erik** · 08/07/2006, 16h48

Arrrgh, effectivement ce que j'ai marqué est ridiculement faux !!!!

invitea12667f3 · 08/07/2006, 17h38

c pas simple hein tout ca?!:d le truc serait de trouver le moyen de calculer le nombre que tu as trouvé plus haut erik..cependant ca peut etre très utile de savoir qu'il existe au moins 3 entiers qui verifient l'enoncé et de les connaitre!ils peuvent peut etre nous réveler certaines choses..

invitea12667f3 · 08/07/2006, 21h01

alors je propose qqch:si il existe 3 entiers a₀,b₀,c₀ tels que $\text{[math]}$ soit vérifiée alors la représentation graphique de $\text{[math]}$ tend a devenir une surface plane définie par les points de coordonnées (a0,b0,z0) dans un graphique 3d en cube.

??!! c bete ce ke je dis..?si c vrai ,peu etre que l'on peut utiliser des vecteurs ou ..?

invite4ef352d8 · 08/07/2006, 23h47

ba je vois pas trop comment tu peut faire, c'est pas lineair du tous comme programe... donc les representation geometrique sa va etre compromis...

bon donc il y a au moin une sollution, c'est deja pas mal (personellement j'aurais plutot pensé le contraire)

bon en revanche sa m'etonerai beaucoup qu'on puisse expliciter l'ensemble des solutions via l'arithmetique !

**invite4793db90** · 10/07/2006, 17h16

Salut,

c'est possible d'écrire l'équation $\text{[math]}$ sous une forme de Weierstrass courte $\text{[math]}$ par un changement de variable projectif ? En résumé, la cubique est-elle elliptique ?

Cordialement.

invite636fa06b · 11/07/2006, 06h12

Bonjour,
Ce ne sais pas si cela permet d'avancer mais on peut montrer que les solutions de l'équation font nécessairement partie de l'une ou l'autre de deux familles :
type 1
$\text{[math]}$
vérifiant $\text{[math]}$ et gcd(r, 66)=1
type 2 $\text{[math]}$
vérifiant $\text{[math]}$ avec r=p²=1 modulo3
La solution proposée par erik est de type 1

Trouver a,b,c entiers tels que a^3+b^3=22 c^3...

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