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derivee non continue



  1. #1
    Syllys

    derivee non continue


    ------

    bonjour ,
    auriez vous s'il vous plait , un exemple de fonction dérivable mais dont la dérivée n'est pas continue ? merci

    -----

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  4. #2
    Bleyblue

    Re : derivee non continue

    Bonjour,

    Tu veux dire une fonction de je suppose ?

    Je pense que celle-ci fait l'affaire, mais sur [0, +oo[ :

    f(x) = { x² si x > 0, sin(x) si x = 0}

    f'(x) = {2x si x >0, cos(x) si x = 0}
    (f' n'est pas continue à droite en zéro)

  5. #3
    Bleyblue

    Re : derivee non continue

    Je me demande si je ne viens pas de dire une ânerie

  6. #4
    Syllys

    Re : derivee non continue

    bonjour bleyblue , merci pour la reponse ; cela dit , je suis moyennement convaincu :
    j'ai lim (f(h)-f(0))/h->0 donc f'(0)=0.
    en fait ce que je ne comprend pas , c'est que si ma dérivée n'est pas continue , j'ai fd'(a)<>jg'(a) donc f est pas dérivable en a ; il y a un truc qui m'echappe...

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  8. #5
    Bleyblue

    Re : derivee non continue

    Il faut faire attention car la j'ai joué avec la dérivée à droite mais je peux généraliser comme ça :

    f(x) = { x² si x > 0, sin(x) si x = 0, -x² si x < 0}

    Cette fonction est bien continue et dérivable pour tout R mais n'est pas continue en x = 0 en car

    f'(x) = {2x si >0, cos(x) si x = 0, -2x si x < 0}

    et la limite en x tendant vers zéro de f'(x) (c'est à dire zéro) n'est pas égale à f'(0) (qui vaut 1) donc f' n'est pas continue en zéro

    Je pourrais me tromper mais il ne me semble pas pourtant

  9. #6
    invite7863222222222
    Invité

    Re : derivee non continue

    La fonction définie par :
    • f(0) = 0
    • f(x) = x² . sin (1/x) sur IR \ {0}

    est continue IR, dérivable mais sa dérivé n'est pas continue en 0.

    Tu as la démonstration ici .

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  11. #7
    Sylvestre

    Re : derivee non continue

    Bonjour,

    Un exemple de fonction dérivable, mais de dérivée non continue est :

    si et si .

    Sa dérivée est si et vaut en .
    Cette dérivée est bien définie partout mais est discontinue.

    EDIT : Grillé
    Dernière modification par Sylvestre ; 15/07/2006 à 15h42.

  12. #8
    invite7863222222222
    Invité

    Re : derivee non continue

    Bleyblue,

    La dérivée c'est l'ensemble des nombres dérivés défini en x0 par f'(x0) = limite en 0 (f(x+h) - f(x)) /h.

    Avec cette définition, tu verras que ton calcul de la dérivée pour ta fonction est incorrecte.

  13. #9
    doudache

    Re : derivee non continue

    Salut !

    À noter qu'une fonction continue dérivable sur un intervalle I de R a sa derivée continue sur une partie dense.

  14. #10
    Bleyblue

    Re : derivee non continue

    Dites quelle faute ai-je comise avec ma fonction ?
    Je ne vois pas bien ...

    merci

  15. #11
    Bleyblue

    Re : derivee non continue

    Non ça je va je me suis tromper en calculant f'(0)

    merci et désolé pour le mauvais exemple

  16. #12
    Syllys

    Re : derivee non continue

    merci beaucoup pour l'exemple et le lien ..

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