Bonjour!
Je dois faire une problème d'optimisation avec la dérivée et je n'y arrive vraiment pas. On me dit que je dois trouver le rayon qui maximiserait l'aire d'un vitrail ,ayant la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle, par rapport au périmètre de celui-ci, mais on ne me donne pas le périmètre ni aucune mesure. J'ai essayé d'isoler le rayon dans la formule du demi cercle, mais j'ai trop de variables pour dériver par la suite... Je ne sais vraiment pas quoi faire!
Bonsoir, et bienvenue sur Futurascience.
C'est pas clair, as-tu une figure ?
A mon avis, recherche un rapport aire/périmètre. Et cherche le maximum de la fonction trouvé avec le rayon comme inconnue. Et la dérivée intervient dans cette partie.
Bonjour,
Il faut s'imaginer un rectangle et accolé, un cercle.
Il faut donc se donner les 3 dimensions du problème : R le rayon du demi-cercle, l la largeur du rectangle et L sa longueur.
Calculons l'aire du tout : A=Arectangle + Ademi-disque = L.l + pi.R²/2
Le périmètre : pi.R+2L+l
Il faut alors faire disparaitre l et L de l'expression de A et faire apparaitre p à la place. Alors A s'exprime en fonction de R et du périmètre.
Or on impose que le périmètre soit fixe, on en tient compte quand on dérive, et on cherche les valeurs de R qui vérifient dA/dR = 0.
Bons calculs !
Je ne suis pas entièrement d'accord avec Rhodes : il indique qu'il faut manipuler 3 variables, alors que 2 suffisent : R le rayon du demi cercle, qui est égal à au demi-côté horizontal du rectangle, et H qui est la hauteur du rectangle. Je n'emploie pas volontairement les mots "largeur" et "longueur" car on ne sait pas quel côté - vertical ou horizontal - est le plus long.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
J'ai fait la construction en géométrie dynamique : le diamètre du demi-disque serait de 87% du demi-périmètre.
Rectification, 82.3%.
Je me mets aux équations et je reviens.
J'ai changé de variables :le périmètre du rectangle et
Voici mon raisonnement :
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Soit environ 20.6 % du périmètre.
Héhé oui je n'avais pas tout dit histoire de laisser un peu réfléchir, mais c'est juste qu'une troisième équation vient compléter le système !
Tu as fait les calculs ?
Et c'est pas bien de cacher des choses, comment on fait s'il manque des données ?
Re,
Je ne trouve pas la même expression du périmètre que vous dans la mesure où je prends pour périmètre celui du vitrail au complet et pas celui du rectangle seul, mais la méthode reste la même, reste à voir ce que dit l'énoncé.
L'aire devient, à mes erreurs près, A= Rp-2R²-piR²/2
la racine de la dérivée à p constant donne Ropt = p/(pi +4). Je me suis peut-être trompé j'ai fait ça sur le pouce.
Je ne cachais pas des données, je laissais une chance à hélènet de chercher un peu après avoir donné quelques pistes. L'idée de se forum est, rappelons-le, d'indiquer des pistes et pas de résoudre le problème à brûle-pourpoint.
Désolé si ça vous a "enduit d'erreur'...
Bonne suite !
Edit : le problème est classique et je n'ai pas fait attention que plusieurs interprétations étaient possibles. Je me suis figuré d'office que le cercle admet pour diamètre un des côtés du rectangle. Au temps pour moi. Reste à voir l'énoncé en vrai.
bonjour a tous,
je ne suis pas tout à fait d'accord avec Rubisco.
La question est de déterminer le rayon qui maximise l'aire par rapport au périmètre.
Donc selon moi, il faut calculer la fonction Aire/Périmètre.
De plus, Rubisco ne prend pas en compte le périmètre du demi-cercle.
En reprenant son idée d'exprimer P (le périmètre du rectangle) en fonction de r, j'obtiens le résultat suivant :
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"Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"
Comment as-tu obtenu ça ?
Et il semble avoir quelques hics dans ton Latex...
Mon calcul, je l'ai vérifié par une figure pour avoir une conjecture.
Si on transforme "le diamètre du demi-disque serait de 82.2% du demi-périmètre" en "le rayon du demi-disque serait de x% celui du périmètre du rectangle", on retrouve bien mon 20.6%.
J'ai la flemme de LaTeXer :
p=Pi.R + 2H + 2R =(périmètre du demi cercle+2* la hauteur + une "largeur")
L'aire vaut A= 2R*H + Pi.R²/2. Substituons 2H=p-Pi.r-2R, alors
A= R(p - Pi.r -2R)+ Pi.R²/2= Rp - 2R² - Pi.R²/2
Dérivons par rapport à R à p constant : A'=p-4R-piR=0 ssi (pi+4)R=p.
Reste à voir si p est vraiment constant. Le premier post est peu clair.
en faisant une double erreurEnvoyé par RuBisCO
Premièrement j'ai oublié un terme en développant ma dérivée.
et deuxièmement j'ai oublié de retrancher 2r au périmètre. J'avais oublié qu'il y'a un côté commun...
Je reprendrais ça à tête reposée...
"Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"
Je traduis en Latex :
L'aire vaut
Dérivons par rapport à R à p constant :
Ah ça c'est très gentil ! Merci beaucoup
Comme çà, j'ai pu revérifier aussi les calculs pas moi-même.Merci de m'avoir éviter de pondre toute la démonstration.
Et c'est pas trop tard pour se mettre à "LaTexer" comme tu dis.
Re.
bon j'ai refait mes calculs.
J'ai étudier la fonction suivante :
f(r)=
Le numérateur est l'aire du vitrail et au dénominateur, c'est le périmètre.
en dérivant, je trouve f'(r)=
Au final, je trouve donc
soit r=0.186P.
"Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"
