lim sinx/x; x en degre

[antberkik]

boujours,
je passe cette annee en terminale et j'aimerais poser une question qui me tracasse depuis l'anne derniere.
nous avons appris que lim sin(x)/x tend vers 1 lorsque x tend vers zero.
x est bien entendu en radian.
mais est-ce qu'il existe une equivalent en de degre? en effet, si x est en degre, dire sin(x)/x revient a diviser une unite de longeur (en l'occurence sin (x)) par une unite de mesure d'angle (qui est x) ce qui est incoherent...
merci d'avance.
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[silk78]

Salut,

Au niveau analyse dimensionnelle : sin(x) avec x en degré n'est pas une longueur comme tu le dis, mais n'a pas d'unité.

Ensuite, le passage de degré en radian est une simple multiplication par pi/180, donc calculer revient à calculer en faisant le changement de variable x=180x'/pi.
On trouve donc encore 1.

Par contre si on avait eu l'angle dans le sin en radian, et l'angle au dénominateur en degré ça n'aurait pas fait 1 (ça aurait fait pi/180 logiquement).

Bien, j'espère avoir été clair.

Cordialement
Silk

[SchliesseB]

ça donne des ° c'est tout.

Rien d'incohérent la dedans cette "unité" "existe bien" dans la vie courante.

et la limite ne vaut pas 1 pour sin(x)/x si sin est la "fonction définie pour x en degré"

[silk78]

Surtout que des angles n'ont en fait pas de dimension en physique, donc le rapport sin(x)/x est toujours sans dimension.
On doit cependant mettre des unités pour distinguer les radians des degrés et autres unités ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Hmm, je viens de voir ce qu'a dit SchliesseB sur la valeur de la limite et du coup je pense que ce que j'ai dis plus haut est au moins partiellement faux. Je retente, corrigez-moi si je me trompe.

Si on note sin_r et sin_d les fonctions sinus en radians et degrés, on a sin_d(x)=sin_r(pi*x/180). Du coup lim sin_d(x)/x = lim sin_r(pi*x/180)/x ce qui vaut pi/180 degrés^-1.
Or on a 1 degré = pi/180 radian donc 1 degré^-1 = 180/pi radian^-1. Donc on trouve que la limite vaut aussi 1 radian^-1.

J'ai tort ?

[SchliesseB]

si on demande la valeur (mathématique) de la limite en 0 de sind(x)/x (pour reprendre tes notations) alors oui, on trouve bien pi/180 (et l'unité physique est le degré^-1 c'est à dire le "par degré")

après, si tu cherches à convertir cette donnée en "par radian" , on trouve bien 1 "par radian" (et 'ouf', c'est homogène même s'il est vrai que le degré/le radian n'ont pas réellement d'unité).

[antberkik]

bonjours,
je vous remercie infiniment schliesse et silk78. je crois que j'ai compris.