inéquations trigonométriques

[invitea2803d91]

Bonjour à tous,
je cherche une méthode afin de pouvoir résoudre les équations trigonométriques , et notamment celle ci :

V(3-4cos²x) > 1 + 3sinx

merci a tous
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[DarK MaLaK]

Salut, tu peux multiplier l'inégalité par elle-même et utiliser le fait que cos²x+sin²x=1. Et regarder pour quelles valeurs de x la racine existe.

[invitea2803d91]

alors ca me fait :

4sin²x - 1 > 1 + 9sin²x
donc
-2 > 5sin²x
et ?

[invite51d17075]

alors ca me fait :

4sin²x - 1 > 1 + 9sin²x
donc
-2 > 5sin²x
et ?

bonjour,
comment obtient tu cela ?

de plus outre la validité de la racine;
a > b n'implique pas a²>b²
ex 1>-2 mais 1<4

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2803d91]

Salut, tu peux multiplier l'inégalité par elle-même et utiliser le fait que cos²x+sin²x=1. Et regarder pour quelles valeurs de x la racine existe.

j'ai fais comme il ma conseillé

[invite5150dbce]

1ère étape :
Il faut chercher le domaine de définition de cette expression : √(3-4cos²x)
Il faut donc résoudre l'inéquation 3-4cos²x≥0 dans IR
Soit D ce domaine

2ème étape :
Pour tout x de D tel que 1 + 3sinx<0, comme √(3-4cos²x)≥0, alors √(3-4cos²x)>1 + 3sinx

Soit E l'ensemble des x de D tel que 1 + 3sinx<0
Je te laisse expliciter E

3ème étape :
Pour tout x de D tel que 1 + 3sinx0≥0, comme √(3-4cos²x)≥0, alors comme la fonction carré est strictement croissante sur IR+, l'inéquation √(3-4cos²x)>1 + 3sinx est équivalente à 3-4cos²x>(1 + 3sinx)²
<=>1 + 9sin²x+6sinx-3+4cos²x<0
<=>1 + 9sin²x+6sinx-3+4-4sin²x<0 car pour tout x appartenant à IR, cos²x+sin²x=1
<=>2 + 5sin²x+6sinx<0
On effectue un changement de variable et on pose X=sinx
On a alors l'inéquation 5X²+6X+2<0
Calculons le discriminant de ce trinome :
On a Δ=b²-4ac avec a=5, b=6 et c=2
D'où Δ=36-40=-4<0 donc comme a=5>0, alors pour tout X appartenant à IR, 5X²+6X+2>0
Il en résulte que l'inéquation 5X²+6X+2<0 n'a pas de solution dans IR donc l'inéquation 2 + 5sin²x+6sinx<0 n'a pas de solution dans IR donc dans D\E

4ème étape :
L'ensemble des solutions de l'inéquation est E