sommation des termes s'une suite

[invitefe5c9de5]

Bonjour a tous,

Je dois calculer la limite en +infini de:
u(n)=(1/n)*(sommation de k allant de 1a n) k^2/n^2

Le corrigé pose u(n)=[n(n+1)(2n+1)]/6n^3

Je ne comprends pas comment il fait?
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[invite5a750395]

Tu peux sortir le n² de ta somme, et tu vois apparaître le n³.

Après il te reste à montrer que la somme des k² allant de k=1 à k=n vaut ce qu'il reste, c'est à dire [n(n+1)(2n+1)]/6 ; ce qui ne doit pas être trop dur par récurrence.

[invitefe5c9de5]

Merci,

Mais ma question était plutot comment est-ce qu'on peut penser a sortir cette formule?
C'est quelque chose que l'on finit par connaitre?

[invitea449d31c]

Bonjour,

Generalement, dans ce genre d'exercice on te fait avancer etape par etape. On pourrait te poser au debut comme question:
demontrer pour n>/1, que (sommation de k=1 vers k=n)k^2 =n(n+1)(2n+1)/6 et deduire apres la limite de (un) a moindre que c'est un exercice tiré d'un certain livre dans lequel on avait demontrer auparavant cette egalité dans un autre exercice, et tu pourras te servir de ce resultat.

Tu dois obtenir que la suite diverge vers +infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

tu as oublié le 1/n^3, et la suite converge vers 2/6 soit 1/3...

[invitea449d31c]

ansset:
Effectivement, en faite j'ai du lire (1/n)*(sommation de k allant de 1a n) k^2/n...