Somme des termes d'une suite indéterminée.

[invite8efa6fc2]

Bonjour à tous.
Voici l'énoncé "Le but de cet exercice est de calculer la somme : S_n = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 111... 1 (n chiffres 1). En multipliant la somme S_n par 9 et en remarquant que 999...9 (n chiffres 9) = 10ⁿ - 1, démontrer que : Sn = [10ⁿ⁺¹ - 9(n+1) - 1]/81."
Le fait est que je voulais bien-sûr utiliser une formule pour faire la somme des termes consécutifs de la suite. Simplement, au fil de mes calculs, j'aboutis au fait qu'elle n'est ni arithmétique, ni géomètrique ce qui, en terme de résolution, me bloque complètement. Comment dois-je procéder ?
Merci d'avance.
-----

[invite1237a629]

Plop,

Euh as-tu utiliser l'indication de l'énoncé ?
Je ne vois pas trop ce que tu as voulu faire :s

J'ai ça comme expression de somme :


Ensuite, tu peux diviser la somme en deux :

[invite8efa6fc2]

MiMoiMolette, au risque de paraître complètement demeuré, je t'avoue ne pas bien comprendre ton post. Ne devrais-je pas donner la nature de la suite avant même d'exprimer la somme ? Et je suis perdu dans ton expression... Pourrais-tu m'expliquer davantage s'il te plaît ?
Merci d'avance.

[invite1237a629]

MiMoiMolette, au risque de paraître complètement demeuré, je t'avoue ne pas bien comprendre ton post. Ne devrais-je pas donner la nature de la suite avant même d'exprimer la somme ? Et je suis perdu dans ton expression... Pourrais-tu m'expliquer davantage s'il te plaît ?
Merci d'avance.

Le problème, c'est qu'une suite n'est pas forcément arithmétique ou géométrique !

J'avoue que mon post balance une formule comme ça, sans vraiment l'expliquer... mais je n'ai pas compris ton post initial

Bon, je vais tenter d'expliquer les sommes que j'obtiens.

On a
Nommons le terme qui contient k fois le terme 1.
Donc

Ensuite, note que (formule à essayer sur 1, 11, 111, etc...).
Ceci correspond à la somme successive des puissances de 10 :

D'où


Bon, maintenant, tu peux exprimer simplement puisque c'est une suite géométrique (et tu obtiendras l'indice que te donne l'énoncé).

etc... est-ce plus clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]