Exercice de TS : Conjecture de l'expression d'une suite

[jojo525]

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour un exercice sur les suites et le raisonnement par récurrence de TS.
(u_n) est la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n :
u_n+1=u_n/(u_n+2)
On me demande de conjecturer l'expression de cette suite en fonction de n, à partir de l'observation des 6 premiers termes de la suite qui sont :
u₁=1/3
u₂=1/7
u₃=1/15
u₄=1/31
u₅=1/63
u₆=1/127
La conjecture permettra ensuite de déterminer en utilisant un raisonnement par récurrence l'expression de la suite en fonction de n.
Seulement, je n'arrive pas à conjecturer une expression pour cette suite, j'ai essayé plusieurs expressions, mais en vain. Quelqu'un pourrait-il m'aider, ou me dire quels sont les indices à observer ou les astuces à utiliser afin de trouver la conjecture ?

Merci pour votre aide et bonne soirée !
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[darkpseudo]

Bonjour

remarque que 3*2 + 1 =7
7*2+1=15
15*2+1=31
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.
.

Ansi tu trouvera une conjecture que tu devra prouver en utilisant la récurrence
et bonne chance^^

[Fanch5629]

Bonsoir.

Voici le début :

Il fallait remarquer que le dénominateur de u_n est une puissance 2 moins 1. Ce genre de chose, on voit ou on ne voit pas.

Bon courage pour le reste.

[jojo525]

Merci à vous deux de m'avoir mis sur la bonne piste.

Bonne soirée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[jojo525]

Bonsoir.

Voici le début :

Il fallait remarquer que le dénominateur de u_n est une puissance 2 moins 1. Ce genre de chose, on voit ou on ne voit pas.

Bon courage pour le reste.

Rebonsoir,


Fanch5629, pourrais-tu m'expliquer ce qui t'a fait voir cela ?
Je vois pas comment tu l'as aperçu du premier coup, qu'est ce qui t'a orienté sur cette piste là, enfin quels indices, même si ça peut te paraître anodin. Merci de m'avoir aidé !

[Fanch5629]

Fanch5629, pourrais-tu m'expliquer ce qui t'a fait voir cela ?

Bonjour.

Il n'y pas de miracle, ni de technique particulière. Simplement, l'habitude de la numération binaire permet de voir que les dénominateurs des premiers termes sont proches des premières puissances de 2 (1, 2, 4, 8 ,16,32,64,128,etc.). Cela vu, trouver l'expression du terme général était immédiat.

Bonne journée.