Notation exponentielle

[invite1c8e448d]

Bonjour, j'ai quelques exercices de maths sur les exponentielles, on vient juste de commencer & je comprends absolument rien.
Pouvez-vous m'aider .?

Exercice 1 :

θ est un réel donné.
Ecrire sous forme exponentielle, les solutions de l'équation :
z² - 2^{θ + 1} (cosθ)z + 2^2θ = 0

Exercice 2 :

Le polynôme P est défini sur C par :
P(z) = 3z² + (1+6 i) z² + 2(8 + i)z + 32 i

a) Montrer qu'il existe un polynôme Q, du second degré à coefficients réels, tel que pour tout z complexe :
P(z) = (z + 2 i) Q(z)

b) Résoudre alors dans C, l'équation P(z) = 0

Exercice 3 :

a) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes :
2e^{i π/2}
V(2e^{- i π/4})
4e^{i (4π)/3}
e^{- i π/6}

b) Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes :
20
-7
7 i
- i / V2
3 - 3i
(V3 + i)⁵
4/(1+i)

Exercice 4 :

On donne z₁ = e^{i π/6} ; z₂ = 3e ^{- i π/3} ; z₃ = V2 e^{-i (5π)/6}

Donner la forme exponentielle puis la forme algébrique des complexes : z₁z₂z₃ ; z₁/(z₂z₃) ; z²₂ ; z₃⁶
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[invitedb5bdc8a]

écrit d'abord ce que tu as fait, fais ce que tu peux sans t'arrêter à la notation exponentielle des nombres complexes qui semble te poser problème.
L'exercice 3 est une simple application de la définition de la notation exponentielle, tu devrais commencer par celui là.

[pallas]

il faut connaitre la formule de exp(ix) = cos x +isinx
ET a + ib = (rac(a²+b²) ) (cos x +isinx) avec cos x = a /(rac(a²+b²) et sin x = b/rac(a²+b²)

[invite1c8e448d]

J'ai réussi les exercices 3 et 4, enfin je pense.
Par contre, pour le 1 et le 2, je ne comprends pas.
Vous pouvez m'expliquer comment faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb5bdc8a]

le 1 est un résolution d'équation du second degré dans Z.
Pour le 2 attention dans l'énoncé tu as écrit un z² à la place d'un z^3. Il s'agit de factoriser le polynome de degré 3 pour se ramener à la résolution d'une équation du second degré et à une racine évidente.

[invite1c8e448d]

Ah oui, dans le 2, c'est un z³, je me suis trompée.
J'ai réussi cet exercice.
par contre, pour le 1er exercice, je ne vois pas du tout, avec les ϑ

[invitedb5bdc8a]

θ n'est qu'un paramètre. Je pense que tout diviser par 2²θ et faire un changement de variable permettrait d'avoir une équation plus simple.

[invite1c8e448d]

diviser l'équation par 2²ϑ ?

[invitedb5bdc8a]

tu n'es pas obligé , tu peux aussi résoudre directement si tu ne vois pas de solution évidente. Discriminant, tout ça.

[invite1c8e448d]

Ok. Si je résoud directement, je peux calculer Delta ?

[invitedb5bdc8a]

oui, comme toujours. La méthode est la même que dans R sauf qu'il y a toujours des solution et que la fonction racine carrée n'existe pas dans C

[invite1c8e448d]

Ah Ok. Parce que vu que dans l'équation il y a des θ, je trouve comme Delta : (4(cosθ)² + 4) 4^θ
Donc Delta est positif