Les suites pures

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous
J'ai une question à vous poser:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout x de I, f(x) appartient à I.
(On dit que f est stable par I)
Soit la suite U(n) définie pour tout n de N, U(n+1)=F(U(n)) avec U(0) appartenant à I.

On suppose dans cette question que f est décroissante sur I.
Considérons les suites V(n) et W(n) définies par: pour tout n de N, V(n)=U(2n) et W(n)=U(2n+1)
Remarque: "V(n) est la suite composée des termes d'indices pair de U(n) et W(n) est la suite composée des termes d'indices impair de U(n)
Supposons que U(0) suppérieur ou égal à U(2). Déterminez alors le sens de variation de V(n) et W(n).

Merci beaucoup d'avance pour votre aide et à très bientôt.
PS: Ca fait depuis des semaines que je bloque dessus;
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[Seirios]

Bonjour,

Tu as ; qu'arrive-t-il si tu appliques deux fois f à cette inégalité ?

(On dit que f est stable par I)

Je pense que c'est plutôt I qui est stable par f

[invite7faacbf0]

Bonjour ;
U(0)>=U(2) pour ne pas te donner la réponse , je dirais qu'ici la récurrence est ton ami , utilise la à bon escient, et ce sur U(2n+1) et U(2n+3) puis sur U(2n) et U(2n+2)
Et bonne chance ^^

[inviteda3529a9]

voici mon résonement:

P(n): Un > U2n

Initalisation
U0>U2 donc VO>V1 donc P(0) est vrai

Hérédité
Soit k appertient à IN
Supposons P(k) vrai, =) Uk>U2k
Montrons que P(k+1) est vrai, =) Uk+1 > U2k+2

On sait que Uk>V2k par hypothèse de récurrence
donc f(Uk) < f(U2k) par déf d'une suite décroissante
donc Uk+1 < U2k+2
donc f(Uk+1) > f(Uk+2)
donc U2k+2>U2k+4

et ainsi de suite
P(k+1) est faux
Vn oscille

Qu'est ce qui est faux ????

Pourriez vous m'aider plus svp
et Wn=U2n+1, comment faire ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

P(n): Un > U2n

Ce que tu essaies de montrer c'est que , c'est-à-dire .

[invite7faacbf0]

Ton hérédité , tu as pas pris le bon k ^^'

[inviteda3529a9]

Je trouve encore ça:

Vn=U2n
Vn+1=U2n+2

On veut démontrer P(n): Vn>Vn+1
Soit U2n>U2n+2

Initialisation
U0>U2 donc VO>V1 donc P(0) est vrai
Heredité
Supposons P(k) vraie =) Vk>Vk+1
Montrons que P(k+1) vraie =) Vk+1>Vk+2 soit U2n+2>U2n+4
On sait que Vk>Vk+1
donc U2n>U2n+2
donc f(U2n)<f(U2n+2)
donc U2n+2<U2n+4

Celà ne correspond pas !!! ???
Pouvez vous m'aider svp
quel doit etre la propriété, l'hypothèse de récurrence, la démarche ???
La fonction décroissante change toujours l'ordre alors comment peut on trouver Vn croissante ou décroissante ou encore constante ?
Aidez moi svp

[Seirios]

donc f(U2n)<f(U2n+2)
donc U2n+2<U2n+4

Cette transition est fausse : , donc tu devrais avoir ; tu n'as plus qu'à appliquer une nouvelle fois f.

[invite7faacbf0]

je pense que f(U2n)=U(2n+1) et f(U2n+2)=U(2n+3) et là tu devra refaire une autre inégalité , remarque que tu pourra démontra les deux propriétés en une seul récurrence , mais je te conseil pas , ça serait trop mélangé ^^

[inviteda3529a9]

d'accord, j'ai comprit donc Vn est décroissante .
Merci à tous.

Et pour Wn, comment réaliser l'initialisation car W0=U1 et W2=U3 ???
On ne sait que U0 "sup ou égal à" U2 ?

Au fait, Wn doit étre croissante ?

[invite7faacbf0]

Heuu dans ta récurrence sur Vn tu a du passé par Wn je pense ^^

[inviteda3529a9]

alors j'ai U2n+1 "sup ou égal à" U2n+3
et f(U2n+1) "inf ou égal à" f(U2n+3)

Mais de toute façon on doit refaire une démo par récurrence pour Wn
^^
Donc comment faire pour l'initialisation
Pour la propriété, je peux conjecturer Wn croissante mais ...

Au fait, Wn doit étre croissante et Vn doit etre décroissante ???

[invite7faacbf0]

Heuu oui oui , c'est cela , pour la conjecture tu as le droit de remplacer n par 0 ;
moi si j'était à ta place je reprendrais la parti ou on montre que U2n+1 "sup ou égal à" U2n+3 , et je dirais puisque la récurrence précédente étais juste et qu'elle a reposé sur cette partie , alors cette partie est aussi juste .
Au faite même si tu refais une récurrence pour Wn l'initialisation se fera d'après ce que tu as montré dans Vn , tu voie ??

[inviteda3529a9]

hey vous vous trompez, c'est , U2n+1 "inf ou égal à" U2n+3.

[invite7faacbf0]

C'est une faute de frappe . Mais bon j'espère que tu as saisi l'idée

[inviteda3529a9]

Ohh c'est rien
Moi aussi j'espère
Je vous tient au courrant pour la suite ^^

[inviteda3529a9]

commrnt faites vous l'initialisation pour Wn ?
Pouvez vous me la décrire ?
On sait que P(n): Wn "inf ou égal à" Wn+1 soit U2n+1 "inf ou égal à" U2n+3 ET U0 "sup ou égal à" U2

Je sais que W0=U1 et W1=U3

J'attends votre aide
Merci d'avance.