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tient marrant ca ! (développement décimal périodique)




  1. #1
    Evil.Saien

    tient marrant ca ! (développement décimal périodique)

    Comme vous le savez, chaque nombre periodique peut s'ecrire comme une fraction...
    Le truc qui m'etonne mais qui pourtant est mathematiquement vrai c'est que 0.9999999999... = 1 ! Et pas environ égal !
    wouaw !

    -----


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  3. #2
    Neutrino
    oui mais c'est un développement décimal impropre, parce qu'un même chiffre est là à l'infini....
    pour obtenir 0.9999999999.... tu multiplies 0.33333333333.... (un tiers) par 3, or ça donne directement 1, et pas 0.9999999..... je crois que le sujet avait déjà été traité dans un précédent sujet hélas effacé avec la nouvelle version du forum. Le truc c'est qu'il ne faut pas penser une multiplication de nombre rationnel comme une multiplication de nombre décimal : l'infinité de décimales de 0.3333333333.... fait que sa multiplication par 3 ne donne pas 0.9999999999999......, et donc que 0.99999999..... ne vaut 1 que par absence de rigueur.

    Quoiqu'il en soit cet exemple montre bien que la pertinence de représenter les nombres par des écritures décimales peut être mise en question. C'est pour ça qu'en maths mes profs m'ont toujours dit d'utiliser des fractions.

    Cordialement.
    Neutrino

  4. #3
    Evil.Saien
    Absolument pas, on se contente pas de multiplier 1/3 par 3 pour montrer que 0.999999 = 1
    Pour ca on effectue la somme infini suivante:
    S = 9e-1 +9e-2 + 9e-3 +...
    Et au final par ce developpement mathematique tres formel on obtient S = 1


  5. #4
    Aether
    Bonjour,

    Une manière de voir les choses :
    Soit S = 0,99999...
    10 x S = 9,99999...
    ou encore
    10 x S = 9 + S
    S = 1

  6. #5
    Quinto
    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Absolument pas, on se contente pas de multiplier 1/3 par 3 pour montrer que 0.999999 = 1
    Pour ca on effectue la somme infini suivante:
    S = 9e-1 +9e-2 + 9e-3 +...
    Et au final par ce developpement mathematique tres formel on obtient S = 1
    surement pas e-1 mais 10<sup>-1</sup>

    La solution de Aether est bonne et souvent utilisée lorsque l'on utilise des séries (entières par exemple)

    sinon c'est une simple série géométrique

    Les sommes partielles valent donc
    S(n)=(1-(1/0.9)<sup>n+1</sup>)/(1-(1/0.9)) et la limite est=1

    0,999999.... n'est qu'une limite c'est exactement la même chose que
    1/0=infini ou 1/infini=0
    ce qui ne choque personne

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Quinto
    Citation Envoyé par Neutrino
    et donc que 0.99999999..... ne vaut 1 que par absence de rigueur.
    Surement pas
    0.999999... vaut exactement 1 et c'est très rigoureux.
    En fait on sait depuis plus de 3siècles que le calcul infinitésimal est rigoureux....

  9. #7
    Evil.Saien
    en effet... desole de l'erreur...
    oups !

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  11. #8
    Jeremy
    Citation Envoyé par Quinto
    [quote:cafc0c3212="Evil.Saien"]Absolument pas, on se contente pas de multiplier 1/3 par 3 pour montrer que 0.999999 = 1
    Pour ca on effectue la somme infini suivante:
    S = 9e-1 +9e-2 + 9e-3 +...
    Et au final par ce developpement mathematique tres formel on obtient S = 1
    surement pas e-1 mais 10<sup>-1</sup>
    [/quote:cafc0c3212]

    C'est le "e" de la calculatrice pas exponentiel, c'est pareil que 10^n

  12. #9
    Quinto
    Oui je sais
    Il faut faire attention à celà.

  13. #10
    Jeremy
    En général moi même j'écris plutot "E" pour la puissance pour pas confondre

    Mais c'est vrai qu'il vaut mieux préciser.

  14. #11
    Evil.Saien
    De maniere generale j'ai entendu parlé d'une regle qui marche a tous les coups mais je sais pas si elle est tres formelle et j'en ai jamais entendu parlé dans un cours, la voici:
    si on a un nombre a constitué de b chiffre (par exemple a=2369 b=4)
    alors a,aaaaaa.... = (1Eb-1)*(10*a)/(1E(b+1)-1)
    Pour notre exemple,
    2369,2369236923692369... = 1000*23690/9999
    j'ai verifié sur la calculette et ca marche avec tout plein d'exmple...
    Quelqu'un en a deja entendu parlé ?

  15. #12
    Quinto
    Ca se démontre facilement, c'est une limite de série géométrique.

    Si tu veux une démo plus ludique que la démo bourrine consistant à dire ce que j'ai dit, tu peux remarquer que

    0.abcdefg££££*10^n=abcdefg££££ .abcdefg££££ où n est la longueur de la chaine abcdefg££££ (où ££££ veut dire et caetera) +1

    de là tu trouves que

    abcdefg££££.abcdefg££££-0.abcdefg££££=abcdefg££££

    bon je vais appeler C cette chaine 0.abcdefg££££

    on trouve C*10^n-C=abcdefg££££

    et donc que C(10^n-1)=abcdefg£££ et donc que

    C=abcdefg££££/(10^n-1)

    Bon avec un exemple concret si je pose comme chaine
    0.123456789[...]

    alors je trouve que ce nombre est égal à
    123456789/(10^10-1)=123456789/999999999

    En fait c'est encore vrai dans une base autre que la base décimale, mais il faut ne pas oublier de changer 10^n en B^n où B est la base considérée.

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