Suites TS

[invite488b17cf]

Bonjour,
le probleme suivant m'est posé :
soit u(n) la suite définie par u(o)=0
u(n+1)= (2u(n)+1)/(u(n)+2)

1. Montrer que pour tout n , u(n) appartient a l'intervalle 0;1 ( avec 0 et 1 incluts )

2. DEmontrer que u(n) est croissante

3.En deduire que u(n) est convergente

4. Determiner la limite de u(n)


Pour la question 1 , j'ai essayé par recurrence mais c'est impossible et je ne vois pas d'alternative donc j'ai besoin de vous ...

Pour la 2 , d'apres moi si u(n) appartient a 0;1 et que u(0) c'est 0 , la fonction ne peut etre que croissante , est ce vrai ?

Pour la 3 , l'on sait que u(n) est majoree par 1 et est croissante donc elle est convergente .

Pour la 4 , je n'y arrive pas ...

J'ai absolument besoin de votre aide , et je vous remercie d'avance !
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[pi-r2]

Pourtant le 1 se fait par récurrence.
Qu'as-tu essayé ?
Si 0<Un<1 que peux tu dire de 1/(Un+2) ?

2/ non ce que tu as écrit est une horreur... Le fait que Un soit supérieur à 0 (qui se trouve être U0) ne veut pas dire que la fonction est croissante.

3/ ok

4/ en faisant passer à la limite la définition de Un+1 on obtient une équation qui permet de déterminer la limite

[invite488b17cf]

pour la 1 je trouve que 1/3<1/(un+2)<1/2 mais encore une fois je n'arrive pas a continuer ...

Pour la 2 si ce n'est pas cela alors j'ai essayé un+1 - un et cela donne (1-u(n) au carre) /(u(n)+2) mais je n'arrive pas à prouver que c'est superieur à 0 ... merci pour votre aide !

[pi-r2]

1/3<1/(un+2)<1/2
bon tu n'est pas tombé dans le piège.
1<2Un+1<3
on voit que ça ne va pas être suffisant d'utiliser la méthode directe.
Tu peux voir que Un=(2Un+1)/(Un+2)=(2(Un+2)-3)/(Un+2)= 2-3/(un+2)
et conclure.
et si tu as prouvé que 0<U(n)<1 alors,
(1-u(n) au carre) /(u(n)+2)>0 est évident

[A voir en vidéo sur Futura]