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DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S



  1. #1
    pumpkin1S

    DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S


    ------

    Bonjour j'ai un DM à rendre pour demain et je bloque sur la 3ème question de l'exercice 2 :

    Soit U(n) définie sur N par Un = somme (n en haut et k=1 en bas) de k/(1+racine de (kn))

    1- calculer U1 et U2
    2- Démontrer que pour tous entiers naturels non nuls n, k tels que 1 inférieur ou égal à k inférieur ou égal à n :
    1/(1+racine de(kn)) supérieur ou égal à 1/(1+n)
    3- En déduire que Un supérieur ou égal à (1/2)n
    4-Déterminer lim lorsque n tend vers +l'infini de Un


    Voilà j'ai trouvé les deux premières questions et je me doute de la réponse à la quatrième (Un tend vers +l'infini) mais je bloque sur la 3ème...

    Si vous avez quelques pistes, merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    theguitarist

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    hello !!

    A la question 2, tu as vu que 1/(1+racine de(kn)) supérieur ou égal à 1/(1+n) pour 1<=k<=n

    donc pour k entre 1 et n :

    1/(1+racine de(kn)) >= 1/(1+n)

    comme 1<=k<=n tu peux mettre une "somme" de part et d'autre de ton inégalité, à savoir :

    somme (de k=1 à n) de 1/(1+racine de(kn)) >= somme (de k=1 à n) de 1/(1+n)


    dans le membre de gauche, tu reconnais Un
    dans le membre de droite, tu n'as pas de variable k, donc ca revient à remplacer la somme des 1/(1+n) par n*(1/(1+n)) soit n/(1+n)

    il te reste qu'à montrer que n/(1+n) plus grand que n/2, pour qu'obligatoirement Un soit plus grand ou égal à n/2

    voilà voilà ! ( petit conseil : par l'absurde ça devrait marcher )

    si j'ai fait une erreur ou que quelqu'un a trouvé plus simple je suis intéressé ^^

    bonne chance

  4. #3
    pumpkin1S

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    Waw merci c'est vraiment gentil
    Mais c'est sur que j'ai le droit de dire que 1/(1+ racine de (kn)) = Un ?
    Car si k= 1 dans la formule de la somme on obtient :
    1/(1+racine de (1*n)) soit 1/(a+racine de (n))
    Ce qui est différent de 1/(1 + racine de (kn)) ?!
    Je sais c'est un peu "confus" x)

  5. #4
    theguitarist

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    on ne peut pas écrire 1/(1+ racine de (kn)) = Un

    par contre SOMME (de k=1 à n) de 1/(1+ racine de (kn)) c'est bien égal à Un

    de ce fait c'est pas tout à fait en fonction de k qu'il faut raisonner mais en fonction de n. Dire si on met k=1 dans la formule de la somme, ca ne nous avance pas à grand chose puisqu'on ne peut pas calculer Un...

    en revanche dire n=1, ca donne U1=1/2

    d'ailleurs pour U2 il me semble avoir trouver 1/(1+racine de 2) + 2/3

  6. #5
    pumpkin1S

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    Oui c'est bien ça pour U2 et U1 = 1/1+racine de 2 ou 1/2 ? Jviens de voir sur mon brouillon que j'avais écrit les deux réponses là mais je ne vois pas pourquoi 1/2...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    theguitarist

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    U1 = Somme (de k=1 à n=1) de 1/(1+racine de kn)

    ca revient à calculer 1/(1+racine de 1*1) = 1/(1+racine de 1)= 1/(1+1)=1/2

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  10. #7
    pumpkin1S

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    Ah mais oui ! Hum désolé j'ai un peu honte là, c'était facile
    En tout cas merci beaucoup !
    Bon je retourne sur géogébra pour la suite du dm... :/

  11. #8
    theguitarist

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    no problemo si ça a pu t'aider c'est l'essentiel !

    bonne chance pour la suite de ton dm ! ciao

  12. #9
    pumpkin1S

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    Toujours à ?
    Parce que pour la question 4 en fait, jme demandais si c'était possible que ça tende vers k ?!
    Parce que on a lim de 1/(1+ racine de kn) avec k supérieur ou égal à 1 ça fait égal à 0, non ?

  13. #10
    theguitarist

    Re : DM sur les limites de suites et les fonctions - Term S

    Un > (1/2)n

    tu n'as besoin de rien d'autre pour montrer qu'elle converge, ici c'est en +inf

    je sais pas si tu as vu le lemme d'encadrement, on l'appelle aussi théorème des gendarmes :

    si pour tout entier naturels n, si tu as Un<Vn<Wn
    et lim Un = Lim Wn = L (L un réel) alors Vn converge vers L

    la démonstration n'est vraiment pas compliquée, si tu ne l'as jamais pas vu, tu peux la rédiger en 10 lignes

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