Divisibilité

[invite5f9b8e1a]

Bonsoir à tous, j'ai ici un petit problème qui me pose quelques soucis :
Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre n4^(n+1)-(n+1)(4^n)+1 est divisible par 9. J'ai essayé la récurrence ça ne passe pas. En cherchant d'un peu plus prêt j'ai trouvé n4^(n+1) congru à (n+1)(4^n)+1 [9] mais faudrait le démonter Comme vous l'avez compris un petit coup de pouce ne serait pas de refus, merci à tous d'avance et bonne soirée

Merci d'éviter ce genre de titre à l'avenir !
Médiat pour la modération
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[invite5150dbce]

Bonsoir à tous, j'ai ici un petit problème qui me pose quelques soucis :
Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre n4^(n+1)-(n+1)(4^n)+1 est divisible par 9. J'ai essayé la récurrence ça ne passe pas. En cherchant d'un peu plus prêt j'ai trouvé n4^(n+1) congru à (n+1)(4^n)+1 [9] mais faudrait le démonter Comme vous l'avez compris un petit coup de pouce ne serait pas de refus, merci à tous d'avance et bonne soirée

n4^(n+1)-(n+1)(4^n)=(4^n)(3n-1)=(3n-1)x(3+1)^n avec la formule du binôme de Newton, la réponse est immédiate, il suffit d'extraire les deux premiers termes en remarquant que les autres sont congrus 0 modulo 9.



Sinon tu peux tester tous les cas modulo 9

[invite5f9b8e1a]

Ouai je comprend pas trop tes égalités, plutôt je ne vois pas comment tu les obtiens. Autrement le biome de Newton pour moi c'est de l'inconnu

[invite5150dbce]

Bah écoute si tu sais pas factoriser par (4^n) cette expression : n4^(n+1)-(n+1)(4^n), tu vas avoir des problèmes

Ensuite, si tu ne l'as pas vu, oublies la formule du binôme, tu la verra surement en fin d'année dans la partie "dénombrement"

C'était pourtant le plus simple

Sinon essaye tous les cas modulo 9

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f9b8e1a]

Oui, j'ai même pas réfléchi, ta simplification est en fait très simple , par contre après tu entends quoi par tous les cas modulo 9 ?

[invite5f9b8e1a]

On est au tout début sur les congruences et je sais pas envisager encore tous les cas de figure, même si sur les six autres exercices de mon DM je m'en suis sorti facilement, je vois pas trop pour celui-là, c'est pour ça que j'ai posté, car après 1h30 de recherches sans la moindre piste ça devient un peu embêtant

[invite5150dbce]

Si n congru 0 modulo 9, alors n4^(n+1)-(n+1)(4^n)+1 congru 0-1+1 congru 0 [9]
Si n congru 1 modulo 9, alors n4^(n+1)-(n+1)(4^n)+1 congru 7-8+1 congru 0 [9]
Si n congru 2 modulo 9, alors n4^(n+1)-(n+1)(4^n)+1 congru 2-3+1 congru 0 [9]
Ainsi de suite

[invite5150dbce]

Après si tu n'as pas vu les règles élémentaires sur la congruence, tu vas me demander d'où ça sort

[invite5f9b8e1a]

Mouai au risque de paraître peu intelligent je comprend pas grand chose à tout ça, j'en suis encore à essayer la récurrence là car je n'arrive toujours pas à voir avec les congruences...

[invite5f9b8e1a]

Le problème c'est que la récurrence couduit à une impasse, je n'arrive pas à démonter la divisibilité , donc obligatoirement le prof doit vouloir nous conduire aux congruences, mais je ne vois pas x)

[invite5f9b8e1a]

Personne aurait une idée expliquée autrement avec des congruences ?

[Médiat]

Bonjour,

Une récurrence marche toute seule, qu'avez-vous fait dans cette direction ?

[invite5f9b8e1a]

Bah vrain au rang 0, si vrai au rand n alors vrai au rang n+1 : hérédité mais ça me conduit à une impasse moi, pas vous ?

[Médiat]

Non, cela m'amène à la démonstration.
Qu'avez-vous fait comme calcul ?

[invite5150dbce]

Les récurrences c'est l'outil long qui marche toujours. Le problème c'est que ce n'est pas une méthode constructive dans le sens où il faut connaitre la réponse pour en venir à la démonstration

Mais dans ton exo, il ne devrait pas y avoir de problème.