DM de maths

[invitec154b59a]

Bonjour, j'ai un DM à faire mais il y a quelques questions auxquelles je n'arrive pas à répondre. Voici les questions auxquelles je n'arrive pas à répondre :

EX 1 :
ABC est un triangle quelconque.
Les points D et E déterminent sur le coté [AB] des longueurs égales.
On a AD=DE=EB
De meme, BF=FG=GC et CH=HK=KA
O milieu de [DG]
1) faire une figure (je l'ai faite)
2) Déterminer le nombre a tel que D barycentre de (A,a) (B,1) (je l'ai faite)
3) déterminer des réels a, b, c tel que O barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c). (je n'y arrive pas)
4) prouver que (DG), (EH) et (FK) sont concourantes en O.

Merci d'avance

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[invitea3eb043e]

Ce qui est sympa avec les barycentres, c'est qu'il n'y a qu'une formule à retenir.
(a+b+c) OG = a OA + b OB + c OC (vectoriel)
Le tout est de choisir astucieusement l'origine O (qu'on prend où on veut en fait).
Ici, il est malin de prendre l'origine en B, O joue le rôle de G et, comme on peut facilement écrire BD en fonction de BA et BG en fonction de BC, ça s'arrange très simplement.

[invitec154b59a]

Merci de votre aide. Donc il faut trouver ça:

(a + b+ c)BO = a BA + b BB + c BC (en vecteurs) ?

[invitea3eb043e]

Tout juste ! N'y a plus qu'à faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec154b59a]

Je n'arrive pas à trouver a b et c
Est-ce que je dois les trouver par associativité ?

[invitea3eb043e]

Je n'arrive pas à trouver a b et c
Est-ce que je dois les trouver par associativité ?

Tu peux, si tu aimes te compliquer la vie !
Tellement simple de voir que BO = 1/2 (BD + BG) et que BD = 2/3 BA, pareil pour BG.

[invitec154b59a]

Merci beaucoup, et on doit trouver a=b=c=2 ?

[invitea3eb043e]

Oui, on peut aussi trouver a=b=c=1 ou bien a=b=c = 1/3, c'est du pareil au même, c'est l'isobarycentre (centre de gravité)

[invitec154b59a]

Ok, j'ai donc trouvé la bonne réponse.
Merci de m'avoir aidé.