[TS] Dm Lemniscate assez complexe

[invite6b6442fd]

Salut à tous,
j'ai un exercice à faire et j'aimerai bien avoir de l'aide parce qu'il est un peu dur .

Voici l'énoncé
Le plan est supposé rapporté à un repère orthonormale direct (0,,).
Soit a(-1/rac(2);0) et b (1/rac(2);0) et par L le lieu des points qui vérifie Ma*Mb=1/2

1.Vérifier que l'origine appartient à L.
2.Soit M un point du plan, dont les coordonnées polaires sont [H,B] et tel que M appartient L.

a.Calculer aM² et bM²

b. Vérifier que cos(2B)>=0 et H=rac(cos(2H))

3.Réciproquement, montrer que si les coordonnées polaires du point M vérifient les deux relations (du b.) alors M appartient à L
4.En déduire une équation cartésienne de L est (E): (x²+y²)²-(x²-y²)=0
5.En utilisant cette équation cartésienne montrer que L admet l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et le centre du repère comme éléments de symétrie.
6. Montrer en utilisant 2. que si M appartient L, OM<=1 et que OM=1 <=>M appartient x'Ox
7. On a (E) <=> T=y²
<=>T²+(2x²+1)T+x^4-x²=0

a.Résoudre l'équation du second degrés ci dessus

b.Montrer qui si T1 et T2 désignent ses racines, alors T1*T2=x^4-x²

c.Eb déduire que si |x|=<1 alors cette équation possède comme unique racine positive ou nulle 1/2(rac(8x²+1)-(2x²+1)). On pose u(x) = rac(8x²+1)-(2x²+1)

d. En déduire que L est la réunion des courbes représentatives des fonctions f1=1/rac(2)*rac(u) et f2=-f1 définies sur [-1,1]

8.Etude de f1:

a. justifier que f1 a le même sens de variation que u

b.étudier le sens de variation de u sur [-1,1]. Préciser les valeurs de x pour lesquelle u(x)=0

c.Montrer que u(x)/(1-x)²=(4(1-x²))/((1-x)(rac(8x²+1)+(2x²+1))) En déduire de Cf admet en son point d'abcisse 1 une tangente verticale

d. Montrer que u(x)/x²=(4(1-x²))/(rac(8x²+1)+(2x²+1)) En déduire f1 est dérivable à droite en 0 et préciser la valeur de f1d'(0).En déduire f1 est dérivable à gauche en 0 et préciser la valeur de f1g'(0).

e.Dresser le tableau de variation de f1

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[invitee75a95d8]

Bonjour,

Entre vouloir de l'aide sur tout un exercice et poser les questions là où tu bloques... N'espères pas qu'on va faire l'exercice pour toi.

La question 1, tu n'y arrives pas ?
Sur quel point bloques tu ? Qu'as tu déjà fait ou essayé ?

[invite6b6442fd]

Oui c'est évident excuse moi. Pour la 1 j'ai posé M(x,y).
et je trouve Ma*Mb=-1/2(x-y)²
Je ne vois pas comment faire.

[invitee75a95d8]

on te parle de l'origine. Tu ne connais pas les coordonnées de l'origine ? (x= ?? et y = ??) ?
Ensuite, tu calcules Ma*Mb en prenant pour coordonnées du point M les coordonnées de l'origine, et si tu ne fais pas d'erreur, ça doit faire 1/2...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b6442fd]

C'est bon j'ai trouvé, j'avais fait une erreur dans mon calcul. Pour la 2. je trouve aM²=p²+2p(cos(B)+sin(B))+1. Par contre pour la b. je ne vois pas coment faire pour montrer que c'est > 0 et pour H=rac(cos(2B)) j'ai fait : H=rac((cosB*h)²+(sinB*h)²)
=rac(h²(cos²B+sin²B))=rac(h²)= |h| donc je tourne en rond .

[invite6b6442fd]

Finalement pour la 2.a je trouve aM²=1/2 + r² - r*(V2)*cost et bM²=1/2 + r² - r*(V2)*cost
Après pour la 2.b Ma²*Mb²=1/4
Je remplace : (1/2 + r² - r*(V2)*cost)(1/2 + r² - r*(V2)*cost)=1/4
==>et la j'ai essayer de développer mais je n'aboutis à rien.

[invited4d76068]

il suffit d'utilser a²-b², où est le problème ?