Trigonometrie

[anon999]

bonjour, j'aurais besoin de savoir comment faire pour les questions de cet exercice svp


l'objectif de cette partie est de minorer la fonction tangente sur I= [0, /2[.

1) démontrer que tan xx pour tout x de I

2) soit g la fonction definie sur I par :
g(x)= tanx-x-1/3de x^3
a) écrire g'(x) sous la forme d'un produit
b) déterminer le sens de variation de g
c) démontrer que tan x x+ 1/3de x^3 pour tout x de I

l'objectif de cette partie est de majorer la fonction tangente sur J = [0,/4]

3)demontrer que pour tout x de j on a : tan x 2x
4) soit h la fonction definie sur J par :
h(x)= tan x-x-(4x^3)/3

a)determiner le sens de variation de h sur j
b) en deduire une majoration de la fonction tangente par une fonction cube sur j

voila, J'aimerais savoir comment bien m'y prendre, merci
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[invitee2a279ac]

Bonjour anon999,

1) Ce n'est pas tan x ≤ x pour tout x de I qu'il faut démontrer mais tan x ≥ x !
Pour démontrer cela, tu peux soit utiliser une différence d'aire, soit considérer la fonction f(x) = tan x - x. En effet, si tu étudies son sens de variation tu dois arriver au bon résultat. Je te laisse chercher, mais n'hésites pas à redemander si tu ne comprends pas

2) a) g'(x) = 1 + tan²x - 1 - x² car la dérivée de tan x c'est 1 + tan²x !
C'est facile de le mettre sous forme de produit maintenant

b) En utilisant le 1), tu dois trouver que g(x) est croissante sur I.

c) En effectuant le calcul tu obtiens que g(0) = 0. Or g(x) est croissante donc tu en conclues que g(x) ≥ 0 pour tout x de I et tu démontres donc l'inégalité recherchée (en changeant le sens de l'inégalité encore une fois )

3) Comme pour le 1), tu considères la fonction f(x) = tanx - 2x et tu étudies son sens de variation.

4) Tu reprends les questions a), b) et c) du 2) avec la fonction h.

En espérant t'avoir aidé,
Sh0nty