factorielle et suite

[invite57902d7e]

bonjour j'aurai besoin d'aide sur un exo

la suite est definie pour n>0 par Un= n!/2^n

1) etudier les variations de Un
2)demontrer par recurrence que pour n>6; Un>n
3) la suite un est-elle convergente? justifier

pour le 1) j'ai un soucis puisque j'arrive pas a etudier son signe (il faut deriver? mais je pense pas que factorielle se derive!!) alors etudier les signe de Un+1-Un je n'y arrive pas non plus!!

Merci de m'aider!!
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[NicoEnac]

Bonsoir,

On peut remarquer que U_n+1 = (n+1)!/2^(n+1) = (n+1)/2 * n!/2^n = (n+1)/2 * U_n ?

[invite57902d7e]

Bonjour

non Un+1=(n+1)!/2^n+1 = n*(n-1)!/2^n+1

pour la variation je pense qu'il faudrait juste calculer tous les U0,U1...jusqu'au moins U6 car apres on sait que c'est que croissant non?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je suis d'accord avec NicoEnac.
(n+1)! = n!(n+1)

Duke.

EDIT : Pour la suite, revois le procédé de la récurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Re,

Un+1=(n+1)!/2^n+1 = n*(n-1)!/2^n+1

Donc (n+1)! = n*(n-1)! ??? Donc (pour n = 1) : 2! = 1 * 0! = 1 ?

Je maintiens ma version.

[invite57902d7e]

ah oui c'est vrai autant pour moi!!!

Mais par contre je vois pas comment tu arrives a etudier le signe avec ça Un+1 = (n+1)!/2^(n+1) = (n+1)/2 * n!/2^n = (n+1)/2 * Un et surtout comment tu passes de
(n+1)!/2^(n+1) = (n+1)/2 * n!/2^n

Merci!!

[NicoEnac]

surtout comment tu passes de
(n+1)!/2^(n+1) = (n+1)/2 * n!/2^n

(n+1)! = (n+1)*n! et 2ⁿ⁺¹ = 2 x 2ⁿ
Donc (n+1)!/2ⁿ⁺¹ = (n+1)*n! / 2 x 2ⁿ = (n+1)/2 x n!/2ⁿ = (n+1)/2 x U_n

Mais par contre je vois pas comment tu arrives a etudier le signe avec ça Un+1 = (n+1)!/2^(n+1) = (n+1)/2 * n!/2^n = (n+1)/2 * Un

On obtient que U_n+1 = U_n x un nombre qui varie en fonction de n. Mais que dire de (n+1)/2 quand n>=1 ? Si on regarde les premiers termes (1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...) on remarque qu'à partir de n=1, ils sont tous >= 1. Ce qui signifie que U_n+1 est calculé à partir de U_n qui est multiplié par un nombre supérieur à 1. Cela te semble-t-il croissant ou décroissant ?

ah oui c'est vrai autant pour moi!!!

Simple précision, cela s'écrit "au temps pour moi".

[invite57902d7e]

cela me semble croissant mais quand tu trace ta courbe de un, tu vois que ça decroit de 0==>1 puis ça croit de 1 a l'infini!!!

[NicoEnac]

cela me semble croissant mais quand tu trace ta courbe de un, tu vois que ça decroit de 0==>1 puis ça croit de 1 a l'infini!!!

Tout cela est exact. U₁ = 1/2 * U₀ => ça décroit.
Dès que n>=1 => n+1 >= 2 => (n+1)/2 >=1 => (n+1)/2*U_n >=U_n (car U_n est positive)=> U_n+1 >= U_n => U_n est croissante pour n>= 1 et même strictement croissante pour n>1

[invite57902d7e]

Bonjour

Par contre pour qu'elle soit convergente il faut qu'elle soit majorée et croissante? je suis d'accord qu'elle est croissante mais comment faire pour trouver qu'elle est majorée?

Merci

[NicoEnac]

Pourquoi cherches-tu à prouver qu'elle est convergente ? On te pose la question : est-elle convergente ? La réponse peut être non.

Question 1) : on a vu que U_n était décroissante sur le premier terme puis croissante.
Question 2) : il s'agit d'une démonstration par récurrence classique
Question 3) : à partir de la 2), on en déduit que ...