Terminal S bloqué sur un exos un peu compliqué

[invite0860b280]

Bonjours voila j'ai un problème, je ne sais plus conjecturer donc je suis bloqué pour mon exo, voila l'énoncé:
On considère la suite (Un) définie par U0=1 et Un+1=Un/(1+Un)
1) a) vérifier que U1=1/2 et U2=1/3 puis calculer U3, U4, U5.

A ça j'ai trouvé 1/4 , 1/5 et enfin 1/6, aucun problème pour sa

b)En déduire une conjecture sur l'expression de Un en fonction de n

Pas difficile non plus je trouve 1/(n+1)

(La sa ce gate)

2) Démontrer ( je glapi) cette conjecture par un raisonnement ( je tourne de l'œil) par récurrence ( je tombe dans les pommes)

et c'est la que tout bloque je ne sais pas du tout quoi faire, donc si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider je lui serais vraiment reconnaissant.
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[NicoEnac]

Bonjour,

Connais-tu le raisonnement par récurrence ?
H_n (hypothèse de récurrence au rang n) : U_n = 1/(n+1)

Que dire de H₀ ? Est-elle vraie ?
Ensuite suppose que H_n est vraie (U_n = 1/(n+1)), que dire de H_n+1 ? Pour cela, utilise la définition de U_n+1 en fonction de U_n et ce que H_n implique sur U_n.

[invite0860b280]

Oui mais je ne sais vraiment plus comment faire, je me souviens qu'il faut initialisé avec Uo et admettre que pour n cela marche et apres essayer de trouver pour n+1 mais c'est entre n et n+1 que cela bloque, je ne sais plus comment faire, pourriez vous me donnez un exemple s'il vous plait?

[NicoEnac]

On suppose que pour n, ça marche. Cela veut dire que U_n = 1/(n+1).

Calculons U_n+1 : U_n+1 = U_n/(1+U_n) = ... remplace ici U_n par 1/(n+1) (puisqu'on a admis que pour n, "ça marche") et dis nous ce que tu trouves. Cela ne ressemble-t-il pas à quelque chose de connu ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0860b280]

Donc je trouve [(1/n+1)]/[1(1/n+1)] puis [1/(n+1)]/[(n+2)/(n+1)]
et donc au final 1/n+2, non?

[epiKx]

oui, c'est bon! tu t'aperçois que p(n+1) est vraie car 1/n+2=1/(n+1)+1. Et c'est fini...
il reste à conclure que p(n) est vraie pour tout .

[NicoEnac]

car 1/n+2=1/(n+1)+1.

Il faudrait m'expliquer...

Donc je trouve [(1/n+1)]/[1(1/n+1)] puis [1/(n+1)]/[(n+2)/(n+1)]
et donc au final 1/n+2, non?

Oui ! Tu viens de montrer que si on accepte que H_n est vraie alors H_n+1 est aussi vraie. Et comme H₀ est vraie, alors H₁ est vraie. Et comme H₁ est vraie, alors H₂ est vraie, etc...

Quel que soit n, H_n est vraie donc U_n = 1/(n+1)

[invite0860b280]

Merci vraiment, bon je reviendrai si j'ai besoin de vos lumières encore merci

[epiKx]

explications: 1/(n+1)+1 fait clairement apparaître que U_n+1 est vraie car il s'agit de l'expression de U_n mais avec n+1 augmenté de 1.

[NicoEnac]

explications: 1/(n+1)+1 fait clairement apparaître que U_n+1 est vraie car il s'agit de l'expression de U_n mais avec n+1 augmenté de 1.

OK Il manque des parenthèses, c'est pour cela que je ne comprenais pas.

[invite0860b280]

Par contre pour organiser mon raisonnement, je commence par dire: soit Hn l'hypothése de récurence au rang n: Un= 1/(n+1), donc H0 est vraie ( Uo=1).
Supposons alors que l'hypothèse soit vraie pour Un, nous cherchons alors Un+1

Hypothèse Un=1/(n+1) , nous voulons Un+1=Un/(1+Un) si l'on remplace Un par 1/n+1 on obtient [1/(n+1)]/[1+(1/n+1)]

et donc 1/n+2

donc l'hypothèse est vraie pour tout n

Sa va ce raisonnement?

[NicoEnac]

Je reprends ton énoncé :

soit Hn l'hypothése de récurence au rang n: Un= 1/(n+1),
H0 est vraie ( Uo=1).
Supposons alors que l'hypothèse soit vraie pour Un, nous cherchons alors à prouver Hn+1

Hypothèse Un=1/(n+1) , nous savons Un+1=Un/(1+Un) si l'on remplace Un par 1/n+1 on obtient [1/(n+1)]/[1+(1/n+1)] = 1/n+2 ce qui prouve Hn+1

donc l'hypothèse est vraie pour tout n

[invite0860b280]

Merci le raisonnement est un peu plus clair a mes yeux maintenant

[invite3467778a]

Bonjour voila je suis completement bloqué sur cet exo pouvez-vous m'aider svp
On cherche à determiner le nombre de solutions de l'equation 3xpuissance5+5xcube+15x=1 et à trouver si elles existent une valeur approchée de ces solutions
1)on pose alors pour tout x appartient a R f(x)=3xpuissance5+5xcube+15x calculer f '(x) puis f ''(x)
2)determiner le signe de f ''(x).En deduire le sens de variation de f ' sur R
3)determiner alors le signe de f '(x) puis le sens de variations de f
4)conclure sur l'equation proposée.(valeur appraochée à 10-1pres)
aider moi stp c'est sur un DM a rentre pour la rentré merci

[invitec1bab060]

Pour la première question tu dois calculer la dérivée de f(x)

[invite3467778a]

oui mais apres avoir fait la derivé de f(x) pour trouver le signe de f '' comment fait-on c'est la que je n'arrive pas
merci de rep c'est urgent svp

[invitec1bab060]

On utilise une dérivée pour trouver le signe d'une fonction, es tu d'accord? donc pour trouver le signe de f" qui est une fonction il faut calculer sa dérivée

[NicoEnac]

f(x) = 3x⁵ + 5x³ + 15x
f'(x) = 15x⁴ + 15x² + 15 = 15.(x⁴ + x² + 1)
f''(x) = 15.(4x³ + 2x) = 15x.(4x² + 2)

Pas besoin de dériver pour trouver le signe...

Quel est le signe de 15x quand x varie entre -infini et + infini ? Et celui de x² ? Donc celui de 4x² ? Donc celui de 4x² + 2 ? Et, pour conclure, celui du produit 15x.(4x²+2) ?C'est immédiat.

[invite3467778a]

f '(x)=15xpuissance4+20xpuissanc e3+15
f ''(x)=60xpuissance3+60xcarré
pour trouvé le signe de f '' on regarde quoi car apres il faut faire le sens de variation de f '