Quadrilatère et Barycentre

[invite5ac18581]

Bonjour,

Je suis en vain à la recherche d'une aimable personne qui pourra m'aider sur cet exercice.

ABCD est un quadrilatére convexe du plan. On divise chaque côté en trois segments de même longueur et on relie les points comme indiqué sur la figure.

a)Déterminer quatre nombres a, b c et d tels que a+b+c+d=3² et pour que le point E soit le barycentre de (A,a)(B,b)(C,c)(D,d)

b)Déterminer quatre nombres permettant d'éxprimer F comme barycentre des points A,B,C,D. Faire le même travail pour les points G et H.

c)Démontrer que E et F partagent [QK] en trois segments égaux et qu'il en est de même pour les segments [PL] [IN] et [JM]

Merci d'avance
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[invite9ad0d8f3]

Bonjour,

Ca serait bien si tu nous expliquais un peu les recherches que tu as faites de ton côté pour résoudre cet exercice...

Pour la question a) : sers-toi de la définition du barycentre qui permet d'exprimer le vecteur AE en fonction des vecteurs AB, AC et AD (en faisant apparaître a, b, c, d et leur somme qui vaut 9). Ensuite, d'après la position du point E sur le schéma, exprime AE en fonction de AB, AC et AD. Tu en déduis a, b, c, d.

[invitea3eb043e]

Tu dois te douter que la clé, c'est l'associativité des barycentres.
Q est le barycentre de A(2) et D(1) mais on pourrait aussi dire A(6) et D(3)
Idem pour K, barycentre de B(2) et C(1)
Prenons E qui divise QK en 3, c'est le barycentre de Q(2) et K(1) (ce n'est pas a priori l'intersection de QK et NJ)
Et c'est là qu'il faut être astucieux : on aimerait que le total des poids de A et D fasse 2, comme ça on pourrait faire l'associativité et idem, on aimerait que le total des poids en K fasse 1. Facile, il suffit de donner à A le poids 4/3 et à D le poids de 2/3 : le rapport reste 2 mais le total fait 2.
Idem du côté de K, le total des poids de B et C doit faire 1, on prend donc B(2/3) et C(1/3)
Par associativité, on voit que le E ainsi défini est le barycentre de A(4/3), B(2/3), C(1/3) et D(2/3)
On peut reprendre le calcul en définissant E', le point qui divise IN et 3, c'est le même calcul, en intervertissant les rôles de B et D, le résultat sera le même donc on prouve que :
E et E' sont le même point (le même barycentre en fait)
QK et IN se coupent effectivement : c'est évident dans le plan, mais pas dans l'espace.
E divise QK en 3 et IN en 3 aussi.