Nombre premier

[invite016dfb93]

Bonsoir,

J'ai encore "soupir" du mal avec les maths

Voilà un exercice que j'arrives pas à résoudre seul^^

1°) Il faut démontrer que aⁿ - 1 est premier si et seulement si a = 2.

2°) Supposons n composé et qu'il admet un diviseur tel que 1 < d < n.

M_n = 2ⁿ - 1 (Nombre de mersenne)

Il faut prouver que 2^d - 1 est aussi un diviseur de M_n puis en déduire que si 2ⁿ - 1 est premier, alors n est premier.

J'ai fais en sorte que l'on puisse distinguer les questions^^


DE MA PART...

1°) Je penses qu'il faut utiliser aⁿ - 1 = (a - 1)(a^n-1 + a^n-2 + ... + a + 1)
De cette façon, nous avons un facteur premier car pour a = 2, a - 1 = 1.

Je penses avoir l'idée mais que la rédaction ne va pas du tout. Vous pouvez m'aidez?

Pour la suite, Sa ne va pas quoi...
-----

[Jeanpaul]

Ne pas oublier de dire que n>=2 sinon pour n=1, ça ne va pas.
Ce que tu as écrit est juste. Il faut ajouter qu'on a 2 diviseurs, le premier est (a-1) et l'autre est évidemment supérieur à 1. Il suffit alors que a-1 soit supérieur à 1 pour que le nombre ait 2 diviseurs dont aucun ne vaut 1 : il n'est pas premier.

Pour le second, je te suggère un exercice : prends le polynôme x^12 -1 et divise-le par (x^3 - 1), tu comprendras comment ça se goupille et qu'il y a une série géométrique derrière tout ça.

[danyvio]

[B][U]
1°) Il faut démontrer que aⁿ - 1 est premier si et seulement si a = 2.

Attention : la condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante. La rédaction de l'énoncé devrait être :
1°) Il faut démontrer que aⁿ - 1 est premier seulement si a = 2.En effet pour n=11 on trouve 2047 = 2¹¹-1 = 23 x 89 qui est un nombre de Mersenne, mais non premier.

[invite016dfb93]

Ne pas oublier de dire que n>=2 sinon pour n=1, ça ne va pas.
Ce que tu as écrit est juste. Il faut ajouter qu'on a 2 diviseurs, le premier est (a-1) et l'autre est évidemment supérieur à 1. Il suffit alors que a-1 soit supérieur à 1 pour que le nombre ait 2 diviseurs dont aucun ne vaut 1 : il n'est pas premier.

Je vois. Logique car le second facteur est dejà supérieur à 1, donc si a - 1 l'est aussi, aucun ne vaut 1.

Oui, j'ai oublié de le préciser, merci de me l'avoir rappeler !

Pour le second, je te suggère un exercice : prends le polynôme x^12 -1 et divise-le par (x^3 - 1), tu comprendras comment ça se goupille et qu'il y a une série géométrique derrière tout ça.

Exercice:
Prendre le polynôme x¹² -1 et le diviser par x³ - 1.

Hum... Sérieusement j'vois pas. J'ai fais quelques chose comme ça en cours. Mais probablement HS avec la question...
x³ - 1 divise x¹² -1
donc x³ - 1 divise x³ - 1 - (x¹² -1)
D'où x³ - 1 divise x³ - 1 - x¹² +1
x³ - 1 divise x³ - x¹²

Attention : la condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante. La rédaction de l'énoncé devrait être :
1°) Il faut démontrer que aⁿ - 1 est premier seulement si a = 2.En effet pour n=11 on trouve 2047 = 2¹¹-1 = 23 x 89 qui est un nombre de Mersenne, mais non premier.

En effet, c'est parce que j'ai mal recopié l'ennoncé. Merci beaucoup, c'est vrai que j'y ai pas fais gaffe^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Hum... Sérieusement j'vois pas. J'ai fais quelques chose comme ça en cours. Mais probablement HS avec la question...

Mais si, ça a à voir, tu dois montrer aisément que x^12 - 1 = (x^3 - 1) [x^9 + x^6 + x^3 +1) et à ce moment tu reconnais que la division (x^12 - 1)/(x^3 -1) est la formule qui donne la somme d'une suite géométrique dont la raison est x à la puissance le quotient de n par d, donc un entier. Ensuite, tu fais x=2.

[invite016dfb93]

Mais si, ça a à voir, tu dois montrer aisément que x¹² - 1 = (x³ - 1) [x⁹ + x⁶ + x³ +1)

Certes, Cela ressemble très beaucoup à la formule de la somme d'une suite géométrique.

Mais pour pouvoir démontrer que x¹² - 1 = (x³ - 1) (x⁹ + x⁶ + x³ +1)

De plus, j'ai l'impression que je m'éloigne de la question de départ de l'exo de tout en haut.

[Jeanpaul]

Ce n'est jamais que la formule donnant 1 + q + q² + q^n = (1 - q^(n+1))/(1-q)

[invite016dfb93]

(x¹² - 1) / (x³ - 1) = 1 + x³ + x⁶ + ... + xⁿ

Ouais je vois pourquoi tu parlais de géométrique pour cette division...

Mais donc (2^d - 1) / (2ⁿ - 1) suite géométrique aussi?

[Jeanpaul]

(x¹² - 1) / (x³ - 1) = 1 + x³ + x⁶ + ... + xⁿ

Ouais je vois pourquoi tu parlais de géométrique pour cette division...

Mais donc (2^d - 1) / (2ⁿ - 1) suite géométrique aussi?

Je parlais de suite géométrique pour justifier la divisibilité, pas plus.