Bonsoir
On a X = a + b et Y = ab sachant que a et b entiers naturels non nuls et premiers entre eux.
1°) J'dois démontrer que a et X sont premiers entre eux, et même question pour b et X
2°) Puis en déduire que X et Y sont premiers entre eux.
3°) Démontrer que X et Y sont de parité différentes.
Vous avez surement remarqué que c'était de la spé. J'sais pas du tout quoi faire.
Bonjour,
1) si a>b c'est simple pour la question 1
X=1.a+b ce qui est la division euclidienne de X par a donc
PGCD(X,a)=PGCD(a,b)=1 car durant tout l'algorithme d'Euclide le PGCD est constant parmi les couples formés.
si b>a c'est un peu plus compliqué.
Faire l'algorithme pour b et a :
b=qa+r qui est une division euclidienne de b par a donc 1=PGCD(b,a)=PGCD(a,r)
X=a+b=a(1+q) + r d'où PGCD(X,a)=PGCD(a,r)=1
Voilà^^
De même pour b.
On verra pour la suite. J'espère que tu as compris.
RoBeRTo
ah oui, je vois le truc !
Logique, Tu regard pour chaque cas, a<b et a>b puis on trouve dans les deux cas que le PGCD vaut 1.
Mille merci !
Mais j'vois pas comment en déduire le fait que X et Y soit premiers entre eux..
Quelqu'un peut m'aider?
X est premier avec a et x est premier avec b donc X est premier avec ab=Y (corollaire du théorème de Gauss)
J'aimerai bien savoir comment démontrer qu'il sont de parité différentes moi.
Pour Draided.
Prenons les 4 cas différents:
- a pair et b pair alors a et b ne sont pas premier entre eux car tous deux divisibles par 2 donc cas non étudié.
- a pair et b impair (respectivement a impair et b pair) alors X est impair et Y pair
-a impaire et b impaire alors X pair et Y impaire
tu peux le montrer en posant a=2n si a est pair ou a=2n+1 si il est impaire et de même pour b avec un n'
RoBeRTo
