Bonjour à tous!
Je n'arrive pas à résoudre un problème en arithmétique sur les nombres premiers :
Soit n entier et P=n^5 + n^4 +1. Pour quelles valeurs de n, P est-il premier??
Indication : Considérer Q= n² +n +1.
J'ai essayé au hasard n=1 et je trouve un premier, mais après je bloque pour en trouver un autre, ou une démo...
Merci d'avance
Essaie de faire la division de P par Q.
Tu veux dire factoriser P par Q? j'ai essayé, mais ca ne fait que rajouter des puisssances de n que je cherche à éliminer....et j'ai oublié la technique pour diviser un polynôme par un autre
Il serait étonnant qu'une division euclidienne fasse monter le degré
Je pense en effet que tu as oublié la technique pour diviser deux polynômes
En fait c'est comme pour diviser les entiers, et tu y vas terme à terme (ie puissance de n par puissance de n).
C'est bon je le tiens merci! Tant pis pour la technique, j'ai fait par identification à l'aide des coefficients, je trouve:
P= (n²+n+1)(n^3-n+1), qui est premier ssi : n²+n+1=1 ou n^3-n+1=1, de la première égalité, on ne peut rien tirer, et de la deuxième on a n=n^3, qui admet une solution unique en entier naturel : 1. C'est bon?
Sinon, est-ce que l'on peut élargir au corps des complexes? parce qu'on a P premier si n = à sa racine cubique et 1 admet 2 racines cubiques complexes :
j=1/2 - iracine3/2 et j²....si on prend n= j ou n=j² est-ce qu'on pourra considérer P premier? on aura alors P=3 à chaque fois...
On est sur les nombres entiers ici.
Tu remarques que P est le produit de 2 nombres entiers. N'est-ce pas gênant pour un nombre premier ?
Sauf si ...
... le produit est P*1...
C'est pas ce que j'ai fais?? :
Ah oui! il y a aussi -1 qui est égal à son cube, mais ca donne P=1 qui n'est pas premier....Aurai-je oublié quelque chose?P= (n²+n+1)(n^3-n+1), qui est premier ssi : n²+n+1=1 ou n^3-n+1=1, de la première égalité, on ne peut rien tirer, et de la deuxième on a n=n^3, qui admet une solution unique en entier naturel : 1.
n = 0 en toute rigueur et les valeurs négatives, pourquoi pas ?
Si on prend n=0 et n=-1, on trouve P=1, qui n'est pas premier , no? ou jme suis trompé dans mes calculs?
à moins que vous parlez de sa factorisation, dans ce cas, 0 et -1 sont effectivement bien des solutions, mais ne donne pas le résultat voulu pour P, donc à exclure.
Exact mais il fallait le mentionner dans la solution (à mon avis !)Envoyé par LightVador
Merci, c'est vrai, faut que je sois complet et exact dans ma réponse, je suis allé trop vite
