Problème sur un exercice 1S

[invite7378164e]

Bonsoir à tous, j'ai un dm pour la rentrée que j'ai quasiment terminé, seulement, je bloque sur une question ...

Voila mon énoncé
Soit la fct f(x)= 1/(1+x²)
1. Quel est l'ensemble de définition de f. J'ai trouvé Calculer la dérivé de f' de f ; ça aussi je pense que c'est bon
2. Trouver une equation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au pt d'abscisse 1. C'est fait! je trouve (-1/2)x+1
Voilà la fameuse question
3. Etudier la position de (C) par rapport à (T).
Je sais que pour étudier la position relative d'une courbe par rapport a sa tangente on étudie le signe de leur différence. Je dois donc faire :
1/(1+x²)-(-(1/2)x+1) mais au résultat le dénominateur de la fonction f(x) me gène.. je ne sais pas comment m'y prendre

Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'expliquer, ce serait top! (: merci ++
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[inviteec33ac08]

Salut,
en général tu dois tous réduire au même dénominateur puis apres tu étudies le signe du quotient.

[invite8241b23e]

Salut !

Le signe du dénominateur ? 1 + x² ?

Un carré est toujours supérieur ou égal à 0, donc x² + 1 sera toujours...?

[invite7378164e]

C'est vrai que en raisonnant ainsi, (1+x²) sera positif..
J'ai calculé en réduisant au même dénominateur et je trouve :
x^3-2x²+x/2(1+x²) J'ai eu idée de calculer la dérivée de x^3-2x²+x et je trouve un trinome du second degré, dont je peux trouver facilement les solutions mais j'ai peur de m'égarer ...
En tout cas merci de m'aider!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

numérateur : tu peux factoriser par x.

[invite7378164e]

En factorisant le numérateur par x je trouve x(x²-2x+1) et en calculant la derivée on a : 3x² -4x +1... laquelle selon vous est la plus pratique pour etudier la position de la courbe par rapport a la tangente, et comment je pourrais m'en servir ?

[invite8241b23e]

La dérivée ne sert à rien. Il faut juste connaître le signe du numérateur. Signe de x, très simple, et signe du trinôme, comme d'hab : discriminant etc...

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Là, le signe de x²-2x+1 n'est pas dès plus sorcier.
Quand on connaît ses identités remarquables, c'est immédiat... n'est-ce pas ?

Duke.

[invite7378164e]

en utilisant la forme x(x²-2x+1) je calcule le discriminant, je trouve 0. Donc la racine double, solution unique -b/2a ==> -(-2)/2x1 = 2/2 = 1 (le x devant le trinome ne me sert à rien il me semble ..)
Le numérateur et le denominateur sont donc positifs, leur quotient aussi. C'est ça ??

[invite7378164e]

Oui c'est vrai, ce qui revient à dire que x(x-1)² est supérieur à 0 donc positif.. Quand on a ça que doit -on faire ? Je ne vois vraiment pas comment conclure :s On a jamais fait d'étude de position de courbes en cours..

[inviteec33ac08]

Salut,
(x-1)² est positif mais pas x! donc tu fais un tableau de signe puis tu envisage différents cas pour pour x<0 par exemple etu tu n'a qu'à lire ton tableau de variation pour répondre

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Reprenons le 3.
Quelle est la forme factorisée de la fonction dont tu dois étudier le signe ?

Duke.

[invite7378164e]

Bonsoir, alors ma forme de départ en réduisant tout au meme denominateur est : d(x) = 1/(1+x²)-(-(1/2)x+1)
= 1*2+1x*(1+x²)-1*2(1+x²)/(2(1+x²))
= x^3-2x²+x/2(1+x²)

En la factorisant je pense obtenir x(x²-2x+1)/2(1+x²) = x(x-1)²/2(1+x²) ..Je me trompe ?

[invite8241b23e]

Ca m'a l'air bon, désolé de pas prendre la peine de refaire les calculs.

[Duke Alchemist]

Re-

Bonsoir, alors ma forme de départ en réduisant tout au meme denominateur est : d(x) = 1/(1+x²)-(-(1/2)x+1)
= 1*2+1x*(1+x²)-1*2(1+x²)/(2(1+x²))
= x^3-2x²+x/2(1+x²)

En la factorisant je pense obtenir x(x²-2x+1)/2(1+x²) = x(x-1)²/2(1+x²) ..Je me trompe ?

Ton expression est donc du signe de x car tout le reste est positif pour tout x.

Duke.