Tangente à une hyperbole au point M

[invitea783811f]

Bonjour,
je suis bloqué pour cet exo:

Soit H l'hyperbole d'équation y= 1/x dans un repère orthogonal (O;i,j). M est un point de H d'abscisse a (a ≠ 0)
1) Trouver une équation de la tangente a H au point M
2) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de cette tangente avec les axes du repère. On note A et B ces deux points .
3) Démontrer que M est le milieu de [AB].

Où j'en suis:
-je tiens à préciser que je ne peux utiliser la dérivée, c'est-à-dire la formule y = f'(a)(x - a) + f(a), donc je suis perdu
-pour la 2), vu que A est sur l'axe des abscisses, j'en déduis A(x_a;0) et de meme B(0;y_b)
-pour la 3) je comptais utiliser la formule x_a+x_b /2 =x_m et ainsi x_a/2=x_m
voilà, merci d'avance!
-----

[pallas]

tu ecris que la tangente a pour équation y= mx+p et sachant qu'elle passe par M on a 1/a= ma+ p soit ma²+pa=1 ( on cherche m et p)
de plus cette droite est tangente à la courbe y=1/x
d'où 1/x=mx+p admet une solution double ( car les courbes sont tangentes ) soit mx²+px-1=0 dont le delta= p²+4m doit etre nul ( pour obtenir une solution dbl) soit p²+4m=0 associé à ma²+pa=1 donne p=2/a et m=-1/a²

[invitea783811f]

Merci beaucoup!

Tu viens de résoudre mon plus gros problème!
je n'avais pas pensé à utiliser la racine double...

Bonne fête de fin d'année à toi