Divison de (a-1) par b et (ab^n-1) par b^(n+1)

[invite881f2306]

bonsoir,
aidez moi svp , je ne peut pas comprenre cet exercice

Soit a∈ℤ et b ∈ℕ*, on note que le quotient de la division euclidienne de a-1 par b.
Déterminern ∀ ∈ℕ, le quotient de la division euclidienne de ab^n-1 par b^(n+1).
-----

[invite9f4bd833]

TU dis 'on note que le quotient de la division euclidienne de a-1 par b.' quel est ce quotient

[invite881f2306]

ah pardon ,
Soit a∈ℤ et b ∈ℕ*, on note que le quotient de la division euclidienne de a-1 par b est q .
Déterminer ∀ ∈ℕ, le quotient de la division euclidienne de ab^n-1 par b^(n+1).

[invitef85dcae6]

Bonjour !

est-ce que c'est (ab)^(n-1) ou a*b^(n-1) ou tout simplement a*(b^n) - 1 ?
Je demande parce que beaucoup de gens oublient les parenthèses donc la reponse peut etre fausse après..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef85dcae6]

Si c'est a*b^(n-1) j'ai une réponse :
en simplifiant les puissances de b, j'obtiens un quotient égal à q/b.

[invite881f2306]

bonjour, merci pour répondre charlie mais c'est pas ca , voilà l' énociation une autre fois :


Soit a∈ℤ et b ∈ℕ*, on note que le quotient de la division euclidienne de a-1 par b est q .
Déterminer ∀ ∈ℕ, le quotient de la division euclidienne de a(b^n)-1 par b^(n+1).

cordialement

[invitef85dcae6]

bonjour, merci pour répondre charlie mais c'est pas ca , voilà l' énociation une autre fois :


Soit a∈ℤ et b ∈ℕ*, on note que le quotient de la division euclidienne de a-1 par b est q .
Déterminer ∀ ∈ℕ, le quotient de la division euclidienne de a(b^n)-1 par b^(n+1).

cordialement

Mince.. je n'arrive à rien.. désolée =/

[invitea3eb043e]

Faut forcément commencer par écrire :
a - 1 = b q + r avec une condition très importante sur r que tu dois connaître.
Ensuite a.b^n - 1 = Q b^(n+1) + R avec une autre condition sur R

Si on multiplie la 1ère condition par b^n on peut comparer avec la seconde et c'est très instructif de voir à quoi mènent les conditions sur r et R.
Je te laisse chercher un peu.

[invite881f2306]

d'accord je continue:
a-1=bq+r et ab^n-1=b^(n+1)Q+R
ab^n-b^n=b^(n+1)+r(b^n) aprés je trouve
ab^n-1=b^(n+1)q+(r+b^n-1)... c'est ca le qutient ????????

[invite881f2306]

Faut forcément commencer par écrire :
a - 1 = b q + r avec une condition très importante sur r que tu dois connaître.
Ensuite a.b^n - 1 = Q b^(n+1) + R avec une autre condition sur R

Si on multiplie la 1ère condition par b^n on peut comparer avec la seconde et c'est très instructif de voir à quoi mènent les conditions sur r et R.
Je te laisse chercher un peu.

mais comment vous posez cette équation et pourquoi ??
vraiment je ne peux pas compendre !!
merci d'avance
cordialement

[invitea3eb043e]

d'accord je continue:
a-1=bq+r et ab^n-1=b^(n+1)Q+R
ab^n-b^n=b^(n+1)+r(b^n) aprés je trouve
ab^n-1=b^(n+1)q+(r+b^n-1)... c'est ca le qutient ????????

Tu t'es planté dans ce calcul et tu n'as pas écrit la condition sur r, tu ne peux y arriver.

[invite881f2306]

oh , ma réponse était correcte ???????????

M.Jeanpaul SVP expliquer moi comment vous mettez ça
"Ensuite a.b^n - 1 = Q b^(n+1) + R avec une autre condition sur R"

et pourquoi ??
merci d'avance.

[invitea3eb043e]

Il y a un couac en passant d'une ligne à l'autre :
ab^n-b^n=b^(n+1)+r(b^n) aprés je trouve
ab^n-1=b^(n+1)q+(r+b^n-1)

Ensuite, tant que tu n'as pas écrit la condition sur r, ce ne sera pas juste.

[invite881f2306]

[QUOTE=Jeanpaul;

Ensuite, tant que tu n'as pas écrit la condition sur r, ce ne sera pas juste.[/QUOTE]

R=r+b^n-1, et 0<R<q c'est ça la condition ??
mais je pense qu'il ne me demande pas de trouver la condition il demande le quotient n'est ce pas !!

[invitea3eb043e]

R=r+b^n-1, et 0<R<q c'est ça la condition ??
mais je pense qu'il ne me demande pas de trouver la condition il demande le quotient n'est ce pas !!

Tes calculs sont obstinément faux et la condition ce n'est pas que le reste soit inférieur au quotient mais inférieur au diviseur.

[invite881f2306]

merci beaucoup pour tes réponses

cordialement

[invite881f2306]

Aidez moi SvP........................... .............................. ............

[invitea3eb043e]

La seule façon de s'en sortir est d'écrire TRES PROPREMENT les relations :
Division de a - 1 per b :
a - 1 = b q + r avec, TRES IMPORTANT : 0<=r<b (strictement la seconde !)
a = b q + r + 1 donc on a 1<=(r+1)<=b (on ajoute 1 donc la seconde inégalité change)
On multiplie par b^n :
a. b^n = q. b^(n+1) + (r+1).b^n et on enlève 1 pour faire apparaître le quotient de a.b^n -1 par b^(n+1) :
a. b^n -1 = q.b^(n+1) + (r+1).b^n - 1
qui ressemble furieusement au quotient de a.b^n - 1 par b^(n+1) qui s'écrirait :
a.b^n - 1 = Q.b^(n+1) + R avec 0<=R<b^(n+1) strictement pour la seconde.

On va montrer que R est égal à (r+1).b^n - 1 et pour cela, on cherche les inégalités :
1<=(r+1)<=b (vu plus haut) donc, en multipliant par b^n qui est positif :
b^n<=(r+1).b^n<=b^(n+1)
b^n-1 <= (r+1).b^n - 1 <=b^(n+1) -1
L'inégalité de droite peut aussi s'écrire strictement <b^(n+1) et on voit que :
0<=b^n - 1 <=[(r+1).b^n - 1] < b^(n+1)
ce qui est exactement la condition requise pour le reste R.
Donc le reste R vaut bien (r+1).b^n - 1 et le quotient Q vaut q

Moralité : quand on travaille sur des quotients, il ne faut JAMAIS oublier les conditions sur le reste.

[invite881f2306]

bonjour,
Vraiment ...Merci beaucoup M.Jeanpaul.
maintenant je peux comprendre quelque chose , Mille merci .
cordialement .

[invite6aaeaccd]

y'a un prob ds le raisonnement de jean paul qui est le suivant
comment l'innegal 0<=r<b devient 1<=(r+1)<=b als que si on ajoute
1 on obtient 1<=(r+1)<=b+1
merci

[invitea3eb043e]

y'a un prob ds le raisonnement de jean paul qui est le suivant
comment l'innegal 0<=r<b devient 1<=(r+1)<=b als que si on ajoute
1 on obtient 1<=(r+1)<=b+1
merci

Tu as mal recopié : ça donne 1<=(r+1) <(b+1) strictement le second, ce qui donne <=b puisque ce sont des entiers.

[invite6aaeaccd]

merci

mais n'oubli pas que b est un naturel ce qui fait que si r+1<b devient r+1=<b ds un seul cas qui est b=0

[invitea3eb043e]

C'est r+1 < b+1
STP : regarde bien ce que tu écris !

[invite6aaeaccd]

dsl j'etais presse en sortant ce matin

il reste tte fois a attirer votre attention sur le fait que 0<=b^n - 1 mais

c clair du fait que b est entier et n aussi , dsl encore et merci

j'ai une autre solution a proposer je la posterai apres inchallah

merci

[invite6aaeaccd]

voici ce que je propose
on a a - 1 = b q + r avec, : 0<=r<b et a. b^n -1 = q.b^(n+1) + (r+1).b^n - 1

on effectue la division de (r+1).b^n - 1 sur b^(n+1) on obtient:
(r+1).b^n - 1 = b^(n+1).q'+r' avec 0<=r'<b^(n+1)
et on remplace (r+1).b^n - 1 ds la premier equat on obtient:

a. b^n -1 = q.b^(n+1) + b^(n+1).q'+r' avec 0<=r'<b^(n+1) d'ou

a. b^n -1 = (q+q').b^(n+1) +r' avec 0<=r'<b^(n+1)

voila j'espere que ça colle merci