DM maths

[invite687db589]

Bonsoir à tous !
Je viens de découvrir ce super site et j'aurai besoin de votre aide pour un petit exercice :

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-dessous.

Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?

2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne trouvant pas élégante sa construction,il décide de supprimer la zone triangulaire hachurée.
Ainsi, les trois parties restantes sont triangulaires et de même aire.
a) Montrer qu'il existe une unique valeur de x répondant au problème de Léonard qui estune solution de l'équation x² + x - 1 = 0
b) En déduire la valeur x₀ correspondante.

Dans la suite de l'exercice on considère que x a pour valeur la solution x₀ de la question 2.

3. Léonard est maintenant mathématicien. Ayant réalisé grossièrement la construction de la question 2, il mène du point H la perpendiculaire (HJ) à la droite (AB). Il a l'impression que les droites (HJ), (DI) et (AC) sont concourantes.
On appelle K le point d'intersection de (HJ) et (DI).

(Résolution analytique)
a) Dans le repère (C,CD,CB), donner l'équation des droites (HJ) et (DI).
b) En déduire les coordonnées de K
c) A quelle condition le point K appartient il à la droite (AC) ? Conclusion

Pour les figures : http://math.univ-lyon1.fr/~lass/sujetlyon08.pdf

J'ai déja répondu aux deux premières questions:
1) A1 = A2 = 1/2 * 1 * x = 1/2 x
A_carré= 2 * A1 + A3
1 * 1 = 2 * 1/2 x + A3
or A3=A1=A2, donc 1 = 3/2 x
donc x = 2/3

2) a. A1=A2=A3= 1/2 x
A_carré= 3 A1 + A_hachurée
1 * 1 = 3/2 x + 1/2 * (1-x)(1-x)
x² + x - 1 = 0
b. x₀= ((racine carrée de 5) - 1)/ 2

Mais après je galère pour la 3e question... Merci de votre aide...
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[invitea3eb043e]

C'est juste. Fais tourner ta figure de 180°, tu verras mieux les axes, appelle-les Cx et Cy, ensuite ce sont des équations de droites à trouver à partir des coordonnées de 2 points. Tu sais faire, non ?

[invite687db589]

bah en fait j'ai réessayé entre temps mais je trouve des trucs pas très sympa :
d'abord le prends les coordonnées des points H (1- x₀; 1),
J (1-x₀; 0), D (1 ; 0) et I (0; 1-x₀)
et ensuite je fais la formule
(x-x_A)/(x_B-x_A) =
(y-y_A)/(y_B-y_A) c'est ça ?

Parce qu'après je trouve DI : y + x - x*x₀ - 1 + x₀ = 0...
et HJ : x₀ - x = 0 ??? Celui là surtout me pose beaucoup de problèmes...

(avec x₀ = ((racine carrée de 5) - 1)/2

Merci de ton aide en tout cas

[invitea3eb043e]

Il est important de faire un dessin très propre en prenant CB comme axe des x et CD comme axe des y.
Alors, l'équation de DI est y = 1 - x/x0 et celle de CA est y = x
L'intersection est donnée par xP = x0/(1 + x0) et yP = x0/(1+x0)
Reste à montrer que cet yP est le même que H, soit yH=1 - x0
Ce qui résulte de la valeur de x0

N.B. Je n'ai pas pris les mêmes droites que ton énoncé, c'est voulu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite687db589]

euh tu m'as un peu perdu là ^^

en fait c'est surtout (pour l'instant) les équations que je trouve pour (DI) et (HJ) qui me posent de gros problèmes...
Pour la question b), je sais qu'il me suffit de faire un système avec ces deux équations pour trouver les coordonnées de K, mais encore faut il qu'elles soient bonnes :s
Serait il possible de me confirmer ou de m'infirmer mes résultats ? Merci d'avance.

PS : je ne sais pas si cela était également voulu, mais le repère est (C, CD, CB) et non pas (C, CB, CD)

[invitea3eb043e]

On va prendre CD comme x et CB comme y, ça ne change pas grand'chose.
L'équation de la droite ID est y = - x0 (x - 1) . Es-tu d'accord ?
La droite JH a pour équation x = 1-x0
Donc P, l'intersection de HJ et DI a pour abscisse (1 - x0) et pour ordonnée x0²
Pour que P soit sur la droite CA, il faut que son abscisse et son ordonnée soient égales ? Toujours OK ?

Ca signifie quelle condition sur x0 ? Est-ce que ce ne serait pas précisément le cas d'après les questions précédentes ?

[invite687db589]

pour la droite JH je suis entièrement d'accord. Par contre pour ID je n'arrive pas à retrouver ton résultat : je tombe toujours sur y = x0 (x - 1)- x + 1 ??
Je ne vois pourtant pas où j'ai pu faire l'erreur..

Ensuite pour P (ou K c'est selon), j'arrive bien à ton résultat en prenant TES équations de droites.

Enfin, pour que P soit sur la droite CA il ne suffit pas de refaire un système en prenant les équations de CA et HJ ? C'est peut etre ce que tu as voulu dire mais j'ai trouvé ta phrase un peu ambigüe...
Merci beaucoup pour ton aide et ta patience en tout cas

[invitea3eb043e]

Tu as pris CI = 1 - x0 au lieu de CI = x0
Pas besoin de système pour voir si un point est sur la 1ère bissectrice : il suffit que y = x

[invite687db589]

ah oui ! quel idiot je fais ! un grand merci à toi de m'avoir fait remarquer cette bourde !

Sinon pour déterminer les conditions d'appartenance de K (ou P) à (AC), il suffi bien de refaire un système en prenant les équations de CA et HJ non ?

[invitea3eb043e]

Sinon pour déterminer les conditions d'appartenance de K (ou P) à (AC), il suffi bien de refaire un système en prenant les équations de CA et HJ non ?

Si tu aimes faire compliqué, ne te prive pas !

[invite687db589]

c'est ma spécialité

[invite687db589]

désolé je n'avais pas vu
"Pas besoin de système pour voir si un point est sur la 1ère bissectrice : il suffit que y = x", j'étais trop emballé par l'erreur que tu m'avais corrigé
c'est vrai que c'est beaucoup plus rapide comme ça ^^

en tout cas merci beaucoup beaucoup pour ton aide tu m'as sauvé