Analyse combinatoire

[invite40edd979]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre un exercice sur les analyses combinatoires dont voici l'énoncé et ma résolution:

Parmi 10 professeurs et 100 élèves, on doit choisir des délégués pour former une commission mixte comprenant 4 professeurs et 10 élèves. De cbn de façons peut-on procéder?

Combinaison de p=4 et n=10 X Combinaison de p=10 et n=100
=> 10!/(6! x 4!) x 100!/(90! x 10!)

Je simplifie et ça donne:
=> 210 x 10!/ (9! x 1!)

Ce qui me fait:
210 x 10 = 2 100

MAis le problème c'est que c'est pas la bonne réponse, j'ai refai je ne sais cbn de fois l'exercice mais je vois pas comment je pourrais faire autrement...

Vous pouvez m'aider svp??

Merci d'avance, Laura22101

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[danyvio]

Ta "simplification" me paraît hautement bizarroïde
100!/(90!*10!) donne un tas de choses sauf 10!/(9!*1)
Reviens modestement à la définition des factorielles

[invite40edd979]

Il me semblait bien que c'était ça le problème... mais je vois pas de que je peux faire d'autre...

[invite32f3286a]

Bonsoir,

Heu....
Si mes souvenirs sont bons :

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
et
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

ça devrait te donner une piste, comme le dit danyvio, il faut que tu revois ta définition de X!

A bientôt,
Alexis

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40edd979]

Pourquoi la factorielle de 6??

J'ai refais le cacul en développant tout par écrit mais je vois tjr pas :s

[invite40edd979]

Il est impossible de faire 100! à la calculatrice donc il faut simplifier tout ça mais je vois pas comment....

[invite32f3286a]

Tu as seulement des multiplications, donc tu peux simplifier si tu as envie.

100! = 90! x 91 x 92 x 93 x 94 x 95 x 96 x 97 x 98 x 99 x 100

Donc dans la deuxième partie de ta multiplication,





Ce qui te donne une opération qui est devenue aprés une simplification par 90! :



10! est au numérateur et au dénominateur...



soit :



Je pense que c'est une bonne piste à suivre...
Il est presque 23H dur... dur...

[danyvio]

Allez, je vais faire un peu de pédagogie, et te dire ce que ton prof t'a sûrement expliqué :
Combien y a t-il de façon de tirer 4 "machins" parmi 10 ?
Quand tu tires le premier "machin" tu as le choix entre 10 machins
Le 1_ermachin une fois tiré, tu as le choix entre 9 machins
Le 2_ème machin une fois tiré, tu as le choix entre 8 machins
le 3_èmemachin une fois tiré, tu as le choix entre 8 machins pour le 4_ème et dernier tirage.
Tu as donc (10*9*8*7) façon de tirer soit
(10*9*8*7*6*3*5*3*2*1) / (6*5*4*3*2*1) Vu l'astuce ?
=10!/6!
Remarque 1 : ci dessus tient compte de l'ordre de sortie.
Remarque 2 : comme après le tirage on ne se préoccupe pas de l'ordre, et qu'il y a 4! façons d'ordonner abcd (abcd, abdc etc.)
on finit par diviser par 4! soit : 10!/(6!*4!) ou 10!(4!*6!)

On retrouve bien la formule générale n!/p!(n-p)!
Si tu as affaire à de grands nombres, comme 100! n'essaie pas de les calculer, à moins de disposer du Cray III

En général tu devra expanser tout ou partie des factorielles, utiliser les propriétés apprises en cours pour simplifier correctement.