Des Nombres Premiers .
bonjour,
2 petites questions SVP :
a est un nombre naturel
1_prouvez que si 2 divise a² donc 2 est un diviseur de a ... mais comment ..
2_ p est un nombre premier , prouvez que si p divise a² donc p divise a ..
Merci par avance .
cordialement .
Pour le 1) faire un raisonnement "par l'absurde" en posant a impair, est-ce que a2 est pair ?
2) Utiliser le théorème de la décomposition unqiue d'un nombre composé.
NB : si tu démontres d'abord le 2°, tu l'appliques au 1°, car 2 est un nombre premier...
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Salam,
Où dois-je commencer? , c'est ca le problème je ne sais pas qu'est ce que je suppose pour commencer ...
Je vais essayer :
on suppose que 2 ne divise pas a donc a=2p+1 et a²= 4p²+4p+1 et 2 ne divise pas a² , veut dire que si 2 divise a , 2 divise a² aussi .. c'est ca ?? mais je pense que ca n'est pas fort
vraiment je ne sais pas bien comment faire le raisonnement "par l'absurde"
merci par avance de me répondre !
cordialement .
Re : Des Nombres Premiers .
on va supposé que a est impaire et on va demontrer que a^2 est aussi impaire ensuite on deduit que si 2 divise a^2 =>2 divise a
a est impaire => a=2k+1 k de N
a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2p+ 1 p=2k^2+2k de N
alors a^2 est impaire ........
Sinon tout bêtement tu tu dis que si 2 divise a(carré) alors tu pose a(carré)=2k
Ensuite soit k est pair, dans ce cas k=2q et donc a= sqrt(4)*sqrt(q)=2sqrt(q), et donc a entier ssi sqrt(q) entier, ce qui donne 2 divise a
soit k est impair et donc a=sqrt(2)*sqrt(k) comme k est impair a ne peut pas être entier donc c'est impossible
Conclusion a=2*sqrt(q) avec q un carré parfait et 2divise a
Pour la suivante tu fais pareil en remplaçant 2 par p
Désole pour l'écriture je n'ai pas de quoi le faire bien sqrt(a) désigne la racine carrée de a et a(carré) son carré
Attention aux conclusions hâtives !Envoyé par Paf-le-chien
k impair peut très bien avoirentier Ex : k=9
Et ce n'est pas parce que
Ex
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eueffectivement j'avais oublié de précisé que 2 était premier, et plus généralement même n'était pas un carré parfait et donc
En revanche pour le deuxième j'ai précisé que k est impair don si on veut tout écrire,
bonjour,
c'est ca le raisonnement par l'absurde??????
Non, en tout cas pas ce que j'ai proposé, mais j'ai trouvé encore mieux, plus court mais pas généralisable pour le cas de la parité:
On pose a2 pair, soit a*a pair. Un produit est pair ssi au moins un des facteurs est pair ( propriété qu'on peut supposer connue et qui se démontre facilement avec la commutativité de la multiplication) donc a est pair
Terminé...
Si on suppose la propriété connue, il n'est pas besoin de la démontrer
La démonstration par l'absurde consiste à dire : soir a2 pair. Supposons a impair, donc a = 2k+1 avec k dans N.
alors a2=4k2+4k+1 qui est impair, puisque si on divise par 2, il y a un reste de 1.
Donc l'hypotgèse : "a impair" est absurde...
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Bonsoir,
Oui , cé ca, donc si 2 est un diviseur de a², c'est sur que 2 divise a ... cé bon ??!!
aha Merci,
Si on suppose la propriété connue, il n'est pas besoin de la démontrer
La démonstration par l'absurde consiste à dire : soir a2 pair. Supposons a impair, donc a = 2k+1 avec k dans N.
alors a2=4k2+4k+1 qui est impair, puisque si on divise par 2, il y a un reste de 1.
Donc l'hypotgèse : "a impair" est absurde...
... et pour la2eme question !!
C'est plus délicat.
Tout nombre a> 1 peut s'écrire de façon unique, à l'ordre des termes près:
a=
où p1, p2 etc sont des nombres premiers distincts, et de puissance a,b,... entiers > = 1
Ci dessus est un des théorèmes fondamentaux de l'arithmétique
Ex : 740=22.51.371
A partir de là, calcule ce que vaut a2, fais l'hypothèse que a2 est pair alors que a est impair et bon courage...
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Merci pour répondre
Mais là quelle est la relation entre a est pair ou impair, je pense que ce 'est pas important ... mais voilà qu'est ce que j'ai fais
je ne suis par sure
nous avons
a=p^e*t^c.. et p et t sont des nombres premiers .. donc a² sera a²=p^2e*t^2c , donc là , si p divise a² , p aussi divise a ... n'est ce pas ... ????
C'est exactement ce qu'il faut démontrer !!!!!
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Je voulais (et devais) écrire :
Fais l'hypothèse que a2 est divisible par p alors que a ne l'est pas... tu dois tomber sur une contradiction. (bien entendu le raisonnement s'applique à p=2, mais aussi à tout autre nombre p)
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Re : Des Nombres Premiers .
je vais essayer :
on fait l'hypothèse que a² est divisible par p donc a n'est pas divisible par p veut dire a=pk+t quand k est t dans N a²=p²k²+2pkt+t² a² n'est pas divisible par p (mais pourquoi ????
