Equation "montrez la réciproque"

[invitea2ba4887]

Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice "guidé" et j'ai un problème avec une partie.
On me demande de résoudre :
x.y = a²
ln²(x)+ln²(y)=5/2.(ln²(a))

Pas de problème pour résoudre, il suffit de poser X=ln(x) etc et on retrouve une équation du second degré.
Par contre, dans les explications on trouve "supposez que (x,y) est solution" et "nous venons de montrer que si (x,y) est solution alors (x,y) = (a, sqrt(a))" et on me demande de faire la réciproque.
Pourquoi y-a-t'il cette conditionnelle ("si (x,y) est solution") ?
Dans quel cas y'a-t'il conditionnelle ? je n'en ai jamais vu dans d'autres équations.
Comment montre t'on la réciproque ? On se contente de vérifier que c'est bien la solution en remplaçant x et y par a et sqrt(a) ?

Merci.
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[invite427a7819]

Salut,

Il me semble qu'on pose la conditionnelle pour pouvoir raisonner par implication parce qu'on a un problème sur une (ou plusieurs) équivalences en cours de route.

A ce moment là, montrer que "si (x;y) est solution, (x;y) = (a; sqrt(a))" te permet d'avoir une première forme de tes solutions. Après, pour la réciproque, il suffit effectivement de voir si tes équations sont vérifiées avec un couple (a ; sqrt(a))

En espérant avoir pu t'aider,
Elwyr

[invitea2ba4887]

Saurais-tu m'indiquer où est le problème, ou quand c'est qu'on doit avoir un doute ? J'essaie de voir les cas où je dois montrer la réciproque.

Merci beaucoup.

[invite427a7819]

En fait, tu devras montrer la réciproque à chaque fois que tu perdras l'équivalence en cours de résolution. Ca arrive beaucoup en arithmétique, où tu as pas mal de propriétés qui ne sont valables que dans un sens (du type, si a divise b et a divise c, a divise (b+c)).

Dans le cas présent, pour être parfaitement honnête, j'ai pas vraiment cherché à résoudre ton système et donc je ne sais pas tellement pourquoi. Raisonner par implication plutôt que par équivalence te permet peut être de sauter deux ou trois calculs ? Par exemple, en changeant ta variable de x en ln²x au lieu de lnx, pour avoir une équation du premier degré plutôt que du deuxième ?

(pourrai pas reposter avant ce soir, désolé >< J'essaierai de te donner une réponse plus complète à ce moment là)

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

x.y = a²
ln²(x)+ln²(y)=5/2.(ln²(a))
alors (x,y) = (a, sqrt(a))

(a, sqrt(a)) n'est pas solution de votre problème.

[invitea2ba4887]

Oups, désolée, effectivement, c'est (sqrt(a),a.sqrt(a)), la bonne réponse.

[NicoEnac]

On se contente de vérifier que c'est bien la solution en remplaçant x et y par a et sqrt(a) ?

Je pense que oui.

[invitea2ba4887]

OK, merci beaucoup.