DM Seconde - Vecteurs

[invitef694f13b]

Bonjour, voilà je suis coincé à la fin de cet exercice et je ne sais vraiment comment faire.

Note : j'utiliserais * après les deux lettres pour indiquer que c'est un vecteur, et " x " pour les multiplications, et " X " pour désigner la lettre " x ".

Voici l'énoncé :

On considère un carré ABCD. Soient I et J les milieux respectifs des segments [CD] et [AD]. Soit E le point d'intersection des droites (AI) et (BJ).

1)
a) Justifier que ABCD est un repère orthonormé.
b) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, I et J dans ce repère.

2)
a) Expliquer pourquoi les vecteurs AE* et AI* sont colinéaires. On notera alors K le réel tel que : AE*= K x AI*.
b) Déterminer les coordonnées de AE* en fonction de K.
c) En déduire les coordonnées du point E en fonction de K.
d)Expliquer pourquoi les vecteurs BE* et BJ* sont colinéaires.
e) En déduire les coordonnées du point E.

Voici mes réponses :

1)
a) Puisque ABCD est un carré, (AD) perpendiculaire à (AB) et AB*=AD*. Donc, le repère (A; AB*; AD*) est un repère orthonormé.
b) A(0;0)
B(1;0)
C(1;1)
D(0;1)
I(0,5;1)
J(0;0,5)

2)
a) Puisque A et I appartiennent à la même droite : (AI), que E est le point d'intersection de (AI) et (BJ) et que E appartient (AI) alors les points A, E, et I sont alignés. De fait, les vecteurs AE* et AI* sont alors colinéaires.
b) AE*= K x AI*
= K(XI - XA)
K(YI - YA)

XE - XA = KXI - KXA
YE - yA = KyI - KyA

XE = KXI - KXA + XA
YE = KYI - KYA + YA

XE = 0,5K
YE = K

E(0,5K;K)

d) MÊME CHOSE QU'A LA QUESTION " a) "

e) Et voilà, c'est exactement la que je suis coincé J'ai quand même essayé de calculer les coordonnées de E selon BE*= K x BJ* mais je ne trouve pas la même chose ...

Merci d'avance pour l'aide que vous allez m'apporter !!!

PS : Mon DM est à rendre pour Vendredi
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[Eurole]

Bonsoir.
AI et BJ paraissent perpendiculaires.

[invite427a7819]

Bonjour !

Déjà, je remarque que pour ton 1.a), si tes droites sont perpendiculaires, tes vecteurs ne sont pas égaux.

Seconde remarque, en faisant une figure, tu t'aperçois que le K de ton 2b) n'est pas le même que le k de ton 2d) (y en a un qui a l'air de faire plus que 0.5 et l'autre moins). Donc c'est normal de ne pas avoir les mêmes résultats ^^ la solution pourrait être d'exprimer ton deuxième k (que tu devrais d'ailleurs appeler autrement) en fonction du premier, ce qui te permettrait de résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues (XE et K ; YE et K) et donc d'avoir tes coordonnées.

[invitef694f13b]

C'est vrai, je n'avais pas remarqué ce que j'ai écrit pour le 2)d). XE = -K + 1 et YE = 0,5K. Et en fait, je crois que ce n'est pas des vecteur pour la 1)a) : AB = AD. Par contre je ne comprends pas vraiment comment exprimer le seconde K en fonction du premier.

[A voir en vidéo sur Futura]